关于“这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？”

大傻8888888

天山草 发表于 2011-10-8 09:51 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励

大傻8888888

下面引用由wangyangkee在 2011/10/09 05:19pm 发表的内容：
天山草  老师验算了这么多，，，是否给个总结，，，
呵呵，说得不错，这个帖子的寿命也快到头了。适用于任意 n 值的极限表达式我看也是很难找到的。除了 n = 1 的表达式是梅腾斯那厮发现的外，现在我们发现了 n = 2 的表达式——不知前人是否早就知道了这个表达式？
期待网友们能给出 n = 3 的表达式（先别要求太高，从 3 开始吧）。

大傻8888888

大傻8888888发表于 2011-10-10 12:09
[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？
下面引用由天山草在 2011/10/09 06:48pm 发表的内容：
呵呵，说得不错，这个帖子的寿命也快到头了。适用于任意 n 值的极限表达式我看也是很难找到的。除了 n = 1 的表达式是梅腾斯那厮发现的外，现在我们发现了 n = 2 的表达式——不知前人是否早就知道了这个表达式　...
    今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具体推导如下：
∏(1-3/p)=∏(1-1/p)*[(p-2）/（p-1)]*[(p-3）/（p-2)]
         =∏(1-1/p)*[(p-2）/（p-1)]*[(p-2）/（p-1)]*[1-1/（p-2)^2]
         =∏(1-1/p)^3*[1-1/（p-1)^2]^2*[1-1/（p-2)^2]
         =27e^(-3γ)/（lnp)^3*(4/3)^2*c^2*∏[1-1/（p-2)^2]
所以（lnp)^3*∏(1-3/p)=48e^(-3γ)*c^2*∏[1-1/（p-2)^2]
    以上关键一步是(p-3）/（p-2)=[(p-2）/（p-1)]*[1-1/（p-2)^2]
    上面p是大于3的素数，c=0.6601......，∏[1-1/（p-2)^2]是一个大于c小于1的常量大约为0.83......，具体值是多少需要天山草先生计算一下。
    如果要推导出n = k 的表达式，还要计算∏[1-1/（p-3)^2]一直到∏[1-1/（p-k)^2]这些常量的具体值。
    n = 3 的表达式已经有了，至于对不对，我个人认为应该是成立的，还请天山草先生验算一下并规范一下表达式。如有错误的地方欢迎广大网友指正。

大傻8888888

天山草发表于 2011-10-10 15:24
[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？
下面引用由大傻8888888在 2011/10/10 00:09pm 发表的内容：
    今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具体推导如下：
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太好了，待我仔细看看再说……

大傻8888888

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/11 00:29pm 第 4 次编辑]

下面计算一下【3】式中的常数 C2，以及这个理论表达式是否与实算结果一致。
结果是 C2≈0.81980245
这样，按【3】式最终算出理论极限为 3.035334231……，这与“笨方法硬算”的结果完全一致！

大傻8888888

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/11 00:33pm 第 2 次编辑]

今天又把证明完善了一下，强调了有一个递推关系式。这样，思路就更清楚了。
下面推导出 n = 4 的情况。

大傻8888888

大傻8888888发表于 2011-10-11 14:43
下面引用由天山草在 2011/10/11 02:14pm 发表的内容：
    “估计数学杂志才不搭理这点小玩艺儿呢。再说，其价值在哪里，现在也不清楚。可以算是个梅腾斯公式的推广吧？”
    对于数学来说，无所谓什么价值，只要前人没有发表这种东西，你发现了它就是有价值的，起码大家以后再遇到这种问题时，不会去无谓的浪费时间和生命。当然可以算是个梅腾斯公式的推广。同时用 liudan 先生的话说“这个定理计算素数分布，发现与欧拉乘积相似，还优于欧拉乘积。这是一个广阔的素数分布研究课题。也许s对复数也成立。有机遇改s为复数，那么 其意义不低于黎曼函数。”我个人认为∏(1-1/p)和素数个数有函数关系，而
∏(1-2/p)和孪生素数个数也有函数关系，∏(1-k/p)和k生素数个数也应该有函数关系。

大傻8888888

天山草发表于 2011-10-12 10:31
下面引用由大傻8888888在 2011/10/12 09:16am 发表的内容：
    这个问题是天山草先生的功劳，我只是提供了一些思路，不足挂齿，实在不配并列第一或者第二之类的说法。感谢wangyangkee先生对这个问题的关注。
    呵呵，哈哈，嘻嘻，本人认为这个问题很可能没有神马用处，如果有用，有功劳，那应该算是大傻8888888首先给出了证明。为何呢？比如说，有个哥们证明了哥德巴赫猜想，你说这算是哥德巴赫的功劳呢，还是这位哥们的功劳呢？

大傻8888888

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/12 02:09pm 第 3 次编辑]

今天编写了一个小小的程序，可以计算各个 n 值的 An 系数。我原以为这些系数都是整数，看来还真是整数。不过下面的数据是重新给出的，先前的数据中有带小数的，那是错误数据，因为校核时发现程序有个地方有毛病。现在改过来了，以下数据没错。能不能算更大的 n 呢？也行，但是尾数就有误差了。可以采用“大数计算方法”来解决这个问题。
  n      系数 An
----------------------------
  1       1
  2       4
  3       48
  4       192
  5       7680
  6       61440
  7       6881280
  8       110100480
  9       1761607680
10       28185722880

大傻8888888

因为不会发图片，天山草很多精彩公式图片以后再发。