一个极限的变通问题，不知道是否有人可以证明

sdlsd

已知数列{An}，A1、A2已知，假定可利用公式
\(A_{i+1}+\left ( \frac{m}{n^{2}}-2 \right )A_{i}+A_{i-1}=0\)
求出An（注意：i=1,2,3,4......，n的自然数）。
且An关于n→∞存在极限。
请问，
当n→∞时，否可以直接将原公式变为
\(A_{i+1}-2 A_{i}+A_{i-1}=0\)
从而直接求出An的极限值。

luyuanhong

式子  A(i+1)^2+(m/n^2-2)A(i)+A(i-1)=0 中的 n 与 i 是什么关系？

sdlsd

luyuanhong 发表于 2023-9-19 16:37
式子  A(i+1)^2+(m/n^2-2)A(i)+A(i-1)=0 中的 n 与 i 是什么关系？

i是数列{An}的n个数据中的第任意第i个值。
比如：
比如将木杆平均分为n段，每段（任意i段）的某个特征值Ai（比如“密度”）符合第一个公式。
\(A_{i+1}+\left ( \frac{m}{n^{2}}-2 \right )A_{i}+A_{i-1}=0\)
式子中，m是常数。且0<m<1。
在第一个式子中，n就是假定的分切总段数，不随i的变化而变化。


假设n取无穷大，那么第二个公式中的m/n^2极限显然为0。
那么将第二个公式作为求An的公式，是否成立，能否证明。
\(A_{i+1}-2 A_{i}+A_{i-1}=0\)

luyuanhong

如果 n 与 i 是两个不同的变量，那么，当 n→∞ 时，m/n^2→0 ，而 i 不受影响。

这时确实会有 A(i+1)^2-2A(i)+A(i-1)=0 。

sdlsd

luyuanhong 发表于 2023-9-20 08:54
如果 n 与 i 是两个不同的变量，那么，当 n→∞ 时，m/n^2→0 ，而 i 不受影响。

这时确实会有 A(i+1)^2 ...

严格说，n是一个定值，i才是变量。
不过，求极限时，n取无穷大。

cgl_74

你的这个问题很奇怪，让人摸不着头脑；而且问题在一些初值情况下An是无解的。题目既不严谨，也没看出问题点在哪里。
我推测：你的这个问题，源自你以前帖子的那个建模问题。由于你自己没有描述清楚模型本身的含义，以及没有转换为正确的数学模型，一顿骚操作，推导出一系列怪异的数学表达式，然后发论坛让人求证。
如果真想解决你的问题，建议把你原始问题，认真严谨描述出来，这样论坛中人才可能真正帮你。

注：再难的题目，其本身描述是很清楚的。有时候一些伪装很难的题目，其实是思路不清的错题，或是悖论。

sdlsd

cgl_74 发表于 2023-9-20 19:51
你的这个问题很奇怪，让人摸不着头脑；而且问题在一些初值情况下An是无解的。题目既不严谨，也没看出问题点 ...

你的猜测是正确的。

sdlsd

\(\sum_{i=1}^nq_i\)\(\sum_{i=1}^nq_i\)

sdlsd 发表于 2023-9-21 08:48
你的猜测是正确的。这就是那个题目的另一种解法。

如图2-3，管壁不通风的固定床（均匀填充固体颗粒 ...

这里面有两种推测方法：
一是从进气端算起（右端，注意：本解法中的数列序号与图中(上楼帖序号)恰好相反）。



另一个解法，就是从抽吸端入手（左端，即上楼图中数列序号），设整体吸阻为hf，各数列递减。
\(\frac{q_1=\frac{y}{n}×hf}{ }\)
\(Q_1=Q_0-q_1\)
\(\triangle p_1=\frac{1}{nx}Q_{1_{ }}\)
\(P_1=hf-\triangle p_1\)

两种解法的递归方程相似。

无论哪种解法，
侧渗气流\(\sum_{i=1}^nq_i\)÷\(Q_0\)，就是通风比例。

sdlsd

cgl_74 发表于 2023-9-20 19:51
你的这个问题很奇怪，让人摸不着头脑；而且问题在一些初值情况下An是无解的。题目既不严谨，也没看出问题点 ...

这就是全部的题干了。谢谢！

核心是求\(hf\)与\(P_0\)的关系、通风比例的表达方式。

sdlsd

附件是一个实际案例的数据（从抽吸端推测算法）。
其中各数列的具体数据均由上方的基础数据推算而来。

以△pn=Pn为前提，调整P1的假设值hf。
设定n=100，
通风率为11.4442%左右。
（附件所示）
设定i=1000，
通风率为11.1725%左右。

具体推演结果见下图，显然这个案例中的侧渗气流【数列qi的和】确实是存在极限的，且这个极限一定与m（既y/x）有关。