A*是 4 阶方阵 A 的伴随阵，已知线性方程组 Ax=0 基础解系中只有两个向量，求 rk(A*)

chenjiahao

设A是4阶行列式，\(A^{\ast}\)为A的伴随矩阵,若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则r(\(A^{\ast}\))=

luyuanhong

题 A* 是 4 阶方阵 A 的伴随矩阵，已知线性方程组 Ax = 0 基础解系中只有两个向量，求 rk(A*) 。

解  一般来说，若 A 是 n 阶方阵，m 是线性方程组 Ax = 0 基础解系中的向量个数 ，rk(A) 是 A 的秩，

则有关系式  rk(A) = n-m 。

    在本题中，A 是 n = 4 阶方阵，Ax=0 基础解系中的向量个数 m = 2 ，所以 A 的秩

                               rk(A) = n-m = 4-2 = 2 。

    我们知道，n 阶方阵 A 的秩 rk(A) 与它的伴随矩阵 A* 的秩 rk(A*) 之间，有这样的关系：

    若 rk(A) = n ，则 rk(A*) = n ；

    若 rk(A) = n-1 ，则 rk(A*) = 1 ；

    若 rk(A)＜n-1 ，则 rk(A*) = 0 。

   在本题中，因为 rk(A) = 2 = 4-2 = n-2 ＜ n-1  ，所以 rk(A*) = 0 。