ABC 对应复数 αβγ，｜α-β｜=4，α^2+5β^2+4γ^2-2αβ-8βγ=0，求 ΔABC 面积

wintex

tmduser

（１）　｜α－β｜＝４　\(\Rightarrow\)　｜AB｜＝４
（２）α\(^2\)－５β\(^2\)＋４γ\(^2\)－２αβ－８βγ＝０
\(\Rightarrow\) ( α－β ) \(^2\)＝ - ( 2β－2γ ) \(^2\)
\(\Rightarrow\)  α－β = ± 2i ( β－γ )
\(\Rightarrow\) |AB| = 2|BC| 、AB⊥BC
即△ABC是直角三角形，且两直角边长分别为4、2，其面积自然为4。

wintex

tmduser 发表于 2023-10-5 21:35
（１）　｜α－β｜＝４　\(\Rightarrow\)　｜AB｜＝４
（２）α\(^2\)－５β\(^2\)＋４γ\(^2\)－２αβ ...

請問為何是直角三角形

luyuanhong

天山草

对于此类问题，可以随便找一种满足题目要求的最简单特殊情况进行计算：

wintex

luyuanhong 发表于 2023-10-6 00:52

請問陸老師

luyuanhong

在第 4 楼的解答中我写 ±√[-4(β-γ)^2] ，是表示在复数范围内对 -4(β-γ)^2 求平方根。

-4 在复数范围内的平方根，有两个，一个是 2i ，一个是 -2i ，合在一起可表示为 ±2i 。

(β-γ)^2 在复数范围内的平方根，也有两个，一个是 β-γ ，一个是 -(β-γ) ，可表示为 ±(β-γ) 。

把上面两条综合起来就是 ±√[-4(β-γ)^2] = ±2i(β-γ) 。

如果你要问：为什么 (β-γ)^2 在复数范围内的平方根是 ±(β-γ) ？

可以看一些例子：例如当 β-γ = 2+3i 时， (β-γ)^2 = (2+3i)^2 = -5+12i 。

可以验证：在复数范围内，2+3i 和 -2-3i 是  (2+3i)^2 = -5+12i  的两个平方根。

(2+3i)^2 = 2^2+2×2×3i+(3i)^2 = 4+12i-9 = -5+12i 。

(-2-3i)^2 = (-2)^2+2×(-2)×(-3i)+(-3i)^2 = 4+12i-9 = -5+12i 。