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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2023-10-9 07:09 编辑
关于导数的计算，根据马克思《数学手稿》第一节，,第2页讲到：“首先取差（即取Δｘ），然后再把它扬弃……。理解微分运算的全部困难（正象理解否定的否定本身那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际的结果的 [8]”的论述，笔者提出了如下的定义11。
定义11，自变数x的微分dx是以 为极限的，满足任意小误差界要求的理想性足够小正实数性质的变数意义的辩证数（即dx为:不是0的足够小正数，也不是《非标准分析》中的无限小数，它近似等于0）。
根据这个定义与使用数学数学建模方法提出的 在t的瞬时速度计算中，由于建模过程使用了近似测量数据，所以计算瞬时速度时，可以使用辩证数dt。由于dt 不等于0，它可以作除数，所以，在算出 约去公因子 后，得到； ，将此式右端的含有辩证数dt的项忽略不计，就得到：在t处的右导数为gt ；同理可以得到：在t处的左导数也是gt。于是在包含t=2的足够小时段上物体下落速度的足够准数值为2g。在这个计算过程中，虽然使用了扬弃差值dt的做法，但这个做法的实质是：理想的没有长度的时刻可以使用测不准的足够小正数替换：即使用数字描述现实数量的理想时刻时，理想时刻可以用忽略不计的足够短时段替换；下落物体按照瞬时速度2g下落的时段长，不是0，而是包含t=2的足够短时段，这样一来，就解决了“下落物体按照时速度2g下落的时段长是不是0呢？”的无法解决的问题。上述瞬时速度的计算是一个足够准近似计算；于是求导数的计算也应当是一个足够准近似计算；但现行教科书中的导数的极限计算方法仍然可以使用，但需要知道：第一，如果对表达式 进行Δx趋向于0的计算，就会出现：0不能做除数的 问题，而必须在约去 中分子与分母的公因子Δx后进行求极限，这个计算也是对不定式 的一种计算；第二，需要知道：这个求导计算工作需要使用“理想点与近理想点、0与非0足够小的相互依赖的对立统一法则与收敛无穷数列可以达不到其极限值的性质”进行解说。根据这性质，对于芝诺的“飞矢不动”问题，根据时段不是理想时刻构成，而是把许多足够小时段连接起来构成的，这样一来，就不能因为“每一个理想时刻飞矢不动，得到飞矢不动的结论”，于是就消除了飞矢不动的悖论。下边再介绍几个与导数概念改革后的应用实例。
例Ⅰ 现行教科书中，称Δx为自变数的微分， 当Δx很小时，原函数增量近似等于函数微分的说法是不确切的。根据定义11与导数表示足够小区间dx上函数变化率的近似意义的上述讨论，应当提出：只有Δx是针对原函数增量计算的误差界的足够小dx时，f’(x)dx才能足够准地表示y=f(x)在区间[x,x+dx]上的原函数增量。对于确定的Δx，必须使用二阶导数，根据泰勒定理中的余项公式计算出误差的取值范围，只有这个误差满足误差界要求时，才可以使用函数微分近似表示原函数增量，否则，就需要使用高阶泰勒多项式进行函数增量的足够准近似计算。
例2 根据马克思《数学手稿》第22页讲到的“通过点M，M' 作割线M'S, h减少得越多，即pp'减少得越多，ps就越趋向于跟次切线PT重合，……，因此PT就是PS所趋向的极限”的论述，可以知道理想函数 在t处切线的斜率为gt。但根据理想点与现实近似点之间相互依赖的关系，这个斜率是割线斜率的趋向性的极限。
例3，马克思在《数学手稿》第19页谈了y=x^2的导数计算中附带谈了1被3除的“永远除不尽，得到的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的趋向性极限才是1/3”的问题。这说明：“无尽循环小数不等于分数，无尽小数是实数的定义是违反实践事实的错误”。
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发表于 2023-10-8 17:19
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