在所有由 1234567 组成的没有重复数字的七位数中，有几个能被 7 整除？

myyour

所有由1234567组成没有重复数字的七位数，其中有多少个能被7整除?

myyour

以下是给出的答案，跳步较大我看不懂，请教
首先考虑8888888，减去任意一个排列七位数，得到另外一个排列七位数，这显然是一个一一对应关系。而且，因为8888888模7余1，那么显然，模7余1的七位数一一对应能整除7的七位数，双方数量相等，可以写成1=7。同理有2=6 3=5。再考虑7777777，比如减去1234567，得到6543210，然后把0再变成7，模7不变，这显然也是个一一对应关系，可以写成，1=6，2=5，3=4。两边对比一下，就得到1234567都相等。所以被七整除的数，就是5040/7=720。

天山草

用 mathematica 写个小程序计算，结果是共有 720 个数字能被 7 整除。

lihp2020

1111111 %7=1
对于任意一个数 lg：1352467
都有对应的7个数 (下面6个 很他本身 我取名 叫同类衍生数组)
1352467+1111111
1352467+2222222
1352467+3333333
1352467+4444444
1352467+5555555
1352467+6666666
他们7个一定 只有一个被7整除
(衍生 余数都是 0~7  可以一一对应)


1352467+6666666
===(1+6)(3+6)(5+6)(2+6)(4+6)(6+6)(7+6)  (假10进制)
===(7)(9)(11)(8)(10)(12)(13)
===7241356 (上面数如果大于7 就减去一个7 相差7的整数倍  同余)
所以 任意一个数都有对于的7个 同类衍生数组  且是唯一
所以 5040/7=720。 总数/7
(衍生 余数都是 0~7  每一类 都是7个)

lihp2020

衍生 一个 问题   【11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  】 一共 13个数 组合成26位数
其中有多少个能被13整除?
ps1  13 是质数  1010101010101（13 个1）%13 不等于0
ps2 11 12 这些数 是一个整体 不能打乱
解是否是13!/13??

tmduser

lihp2020 发表于 2023-10-11 01:35
1111111 %7=1
对于任意一个数 lg：1352467
都有对应的7个数 (下面6个 很他本身 我取名 叫同类衍生数组)

问题是你并没有证明对应7个余数的排列数一定相等，逻辑上说不过去。
比如123模3，你1、2、3怎么排列它都能被3整除。

lihp2020

tmduser 发表于 2023-10-11 16:44
问题是你并没有证明对应7个余数的排列数一定相等，逻辑上说不过去。
比如123模3，你1、2、3怎么排列它都 ...

证明了 因为1111111 %7=1
如果是3个数 那么 就111%3 =0  不满足 非 0

uk702

好题！太巧妙了！

uk702

推而广之，

若 n 不是 3 的倍数（且 n <= 9)，则由 1~n 排列组成的所有 n! 个 n 位数中，模 n 的余数为 0 ~ n-1  ，其数量各占 n 分之一。

M 进制，若 n 与 M-1 互素且 n < M，则由 1~n 排列组成的所有 n! 个 n 位数中，模 n 的余数为 0 ~ n-1  ，其数量各占 n 分之一。

uk702

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