发现了斐波那契数列的拟合函数，可以将其解析研拓到实数区，但是不会证明，求帮助

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这个是我发现的斐波那契数列拟合函数，拟合效果如图1
\(f\left( x\right)=\frac{1}{\left( \frac{\left( \sqrt{5}-1\right)}{2}\right)^{x+1}+\left( \frac{\left( \sqrt{5}-1\right)}{2}\right)^{x-1}}\)
该函数将斐波那契数列解析研拓到了实数区，并且在任意实数x上任然满足\(f\left( x\right)+f\left( x+1\right)=f\left( x+2\right)\),拟合对比如图2
另外，我还发现了一个有意思的式子：
\(\int_{-\infty}^kf\left( x\right)dx=\int_{k+1}^{k+2}f\left( x\right)dx\)
我直觉里这个式子是正确的，但是我不知道咋证明，求助（图三）

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