设为首页收藏本站
开启辅助访问 切换到窄版

数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
数学中国»论坛 › 数学中国论坛 › 基础数学 › AB是圆O直径,T∈圆O,T,A,C,D∈圆E,CD⊥AB,P=AC∩圆O,圆G ...
返回列表 发新帖
查看: 3438|回复: 6

AB是圆O直径,T∈圆O,T,A,C,D∈圆E,CD⊥AB,P=AC∩圆O,圆G=圆DTP,圆Q=圆DCP,证DTPA共圆

[复制链接]
发表于 2023-10-19 07:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
AB 是圆O 的一条直径，T ∈ 圆O，T, A, C,  D ∈ 圆E，CD ⊥ AB，P = AC ∩ 圆O，
圆G = 圆DTP，圆Q = 圆DCP，证明：DTPQ 共圆，且 Q 为定点。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看，没有帐号？注册

x
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-10-19 07:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-10-19 08:29 编辑

程序代码：
  1. Clear["Global`*"];\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = -1; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) =  b = 1;
  2. kOT = u^2;  kAE = v^2; kAP = w^2;
  3. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
  4. W1 = {t, \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - t) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\)) == 1, k[o, t] == kOT}, {t, \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  5. t = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\) = Part[W1, 2];
  6. mAT = (a + t)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(mAT\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\))/2;(*AT的中点*)
  7. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
  8. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
  9. e = Simplify@Jd[-k[a, t], mAT, kAE, a]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k[a, t], mAT, kAE, a];
  10. W2 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - p) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == 1, k[a, p] == kAP}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  11. p = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
  12. W3 = {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(e - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (e - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), k[a, p] == k[a, c]}, {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  13. c = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
  14. W4 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(e - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (e - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)), k[c, d] == -1}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten;
  15. d = Part[W4, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part[W4, 2];
  16. WX[a_, b_, c_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a) )/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));(*三角形 ABC 的外心坐标：*)   \!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - a))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));
  17. g = Simplify@WX[d, t, p]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[d, t, p];
  18. q = Simplify@WX[d, c, p]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[d, c, p];
  19. Print["复斜率 kDT 与复斜率 kPQ 之积 = ", Simplify[k[d, t] k[p, q]]];
  20. Print["复斜率 kPT 与复斜率 kQD 之积 = ", Simplify[k[p, t] k[q, d]]];
  21. Print["由于 kDT \[Times] kPQ = kPT \[Times] kQD，所以 DTPQ 共圆。"];
  22. Print["Q 点的坐标为 q = ", q];
  23. Print["由于 Q 点的坐标表达式中没有参数 w，因此 Q 点的位置与 P 点的位置无关，即 Q 是一个定点。"];
复制代码


程序运行结果：

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看，没有帐号？注册

x

点评

denglongshan
建议把初始条件和结论都显示出来，便于阅读，谢谢  发表于 2023-10-19 20:28
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-10-19 08:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-10-19 08:41 编辑

注， 上面程序中判定复平面上四点共圆的条件是：两对边的复斜率之积相等。
或者，如果四边形任一对边的复斜率之积与对角线的复斜率之积相等，则该四边形各顶点共圆。
当然，上面只是复平面上判定四点共圆的一种方法，还有不用复斜率表达的其他方法。例如，若 (a−c)(b−d)(a−d)(b−c) 为一个实数则 ABCD 四点共圆。

点评

denglongshan
下楼用求半径平方相等的方法判断四点共圆  发表于 2023-10-19 21:27
denglongshan
构图也需要说明  发表于 2023-10-19 20:29
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-10-19 21:25 | 显示全部楼层
假设O在原点，(¯o=o=0,¯a=a=−1,¯t=1t,ˉv=1v=eiO2,

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看，没有帐号？注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

返回列表 发新帖
高级模式
B Color Image Link Quote Code Smilies E
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入　教程　符号库　加行内标签　加行间标签　
对应的 LaTEX 效果：

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-10 18:45 , Processed in 0.083711 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: