从正三角形底边中点发射一道光线，经过 n 次反射后，到达三角形一个顶点，求发射角度

ccmmjj

推介一道网上看到的趣题

正三角形的台球桌
其实看作理想化的情况比较好。球当作一个光子，三条边当作能够全反射的镜面，球洞就是一个顶点。反射可以无限进行下去，直到到达一个顶点为止。
如图就是一个反射过程，起点是底边的中点，求角α 。

这个问题可否一般化？

ccmmjj

@ 天山草 兄擅电脑模拟否？可模拟出各种解答，寻得规律，公式？

王守恩

正三角形ABC(A=上,B=左,C=右,BC=a,AC=b,AB=c)边长=1，O=AC上的点。
反射0()次到达A,  CO=1/1,
反射1(b)次到达B,  CO=1/3,
反射2(b,c)次到达C,  CO=2/3,
反射3(b,c,a)次到达A,  CO=2/5,
反射4(b,c,a,b)次到达B,  CO=3/5,
反射5(b,c,a,b,c)次到达C,  CO=3/7,
反射6(b,c,a,b,c,a)次到达A,  CO=4/7,
反射7(b,c,a,b,c,a,b)次到达B,  CO=4/9,
反射8(b,c,a,b,c,a,b,c)次到达C,  CO=5/9,
{1/1, 1/3, 2/3, 2/5, 3/5, 3/7, 4/7, 4/9, 5/9, 5/11, 6/11, 6/13, 7/13, 7/15, 8/15,
8/17, 9/17, 9/19, 10/19, 10/21, 11/21, 11/23, 12/23, 12/25, 13/25, 13/27, 14/27, ......

1. Table[Floor[(n + 1)/2]/(2 Floor[n/2] + 1), {n, 1, 99}]

复制代码

Future_maths

说错了。

luyuanhong

ataorj

上面答案适合于快速做出完整路线。
问下:任意角度值都符合不？

ataorj

更正，参照陆教授下一帖子，v=n√3/m,上面问题是要证明，非负实数可否都能表达为v的形式
并非。反例，比如，v≠1,2,3,5^0.5,...,它们对应着相应的角度

luyuanhong

问  是不是从 (0,0) 射出的任何角度的光线，经过多次反射，最后都能到达正三角形的顶点？

答  不是。从上面第 5 楼的解法可以看出，要使得光线反射后到达正三角形顶点，射出的光线必须

指向正三角形网格的某一个网格顶点。正三角形网格顶点的一般坐标可以表示为 (m,n√3) ，其中

m,n 是两个奇偶不同的整数，所以发射角度必须为 α=arctan(n√3/m) ，m,n 是奇偶不同的整数。

除了这种形式的发射角，从 (0,0) 射出的其他角度的光线，只能在正三角形内部无限多次反射，

永远不可能到达正三角形的顶点。

ataorj

如图,反射路线为D-E-F-G-A
过E做AB垂线x,易知
对于初级三角形ABC:入射线DE,透射线EH和反射线EF之间关系:共边AB为对称轴,EH=EF
同理,二级:入射线EH,透射线HI和反射线HL之间关系:AK为对称轴,HI=HL
HL以AB为对称轴对应回应初级三角形ABC中的FG
同理,三级的透射线IJ可三次对称回应到GA(有IJ=IA=LA=GA)
可见透射线DJ和目标反射路线是一一对应关系,
目标角度d=arctan(n√(3)/m),实例中n=MJ/√(3)=1+1,m=DM=-1-2
d会否其实是任意值呢?研究n/m即可,其显然为任何有理数,则无理数是不行的,相应d也就非任意.证毕

ccmmjj

很精彩的解答，谢谢了。这是网络原解答，已经包含在陆教授的解答中了。