△ABC是等腰直角三角形,D∈BC且BD＝BC/3,以D为圆心DB为半径....,证AECF是平行四边形。

天山草

△ABC是等腰直角三角形，D∈BC 且BD＝BC/3，以D为圆心以DB为半径作圆D，E∈圆D，连接 AE、CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接 AF。当 B、E、F 三点共线时，证明 AECF 是平行四边形。
若圆D是单位圆，其圆心为坐标原点，当 B、E、F 三点共线时，求 E 点的坐标。

天山草

1. Clear["Global`*"];(*设 DE 的复斜率为 u^2*)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = -1; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 2; a = 0.5 + 1.5 I; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 0.5 - 1.5 I;
   
3. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
4. Solve[{(d - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)) == 1, k[d, e] == u^2}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}]; e = u; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = 1/u;
   
5. Solve[{k[b, e] == k[b, f], -k[b, f] == k[c, f]}, {f, \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)}]; f = 1/2 (3 u + 1); \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = (u + 3)/(2 u);
   
6. Solve[{(f - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)) == (f - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) -
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))}, {u}]; u = 4/5 + (3 I)/5;e = u; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = 1/u; f = 1/2 (3 u + 1);
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = (u + 3)/(2 u);
   
9. Print["复斜率 kAE = kFC 成立否？ ", Simplify[k[a, e] == k[f, c]]];
   
10. Print["复斜率 kAF = kEC 成立否？ ", Simplify[k[a, f] == k[e, c]]];
    
11. Print["由于四边形 AECF 两对边的复斜率相等，所以这个四边形为平行四边形。"];

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运行结果：

由程序可知，当 B、E、F 三点共线时，若D为单位圆则E点的坐标为(0.8, 0.6)，据此即可作出符合题目要求的精确图。

波斯猫猫

D(0, 0), 半径为r, 则易得A(r/2, 3r/2), C(2r, 0), 不难得出 E(4r/5, 3r/5), F(17r/10, 9r/10).

kAE=kFC=-3,kAF=kEC=-1/2（这样可证明AECF 是平行四边形），E(4/5, 3/5).

这时，可为何有向量AE=(a, -b) ,向量FC=(-a, b) ? 做何解释？  

注：搞成了始点减终点了，应为AE=(a, -b) =向量FC。

天山草

波斯猫猫 发表于 2023-11-11 21:39
D(0, 0), 半径为r, 则易得A(r/2, 3r/2), C(2r, 0), 不难得出 E(4r/5, 3r/5), F(17r/10, 9r/10).

kAE=kFC ...

在我上面的程序中，向量 AE 和向量 FC 是相同的，不是模相等而符号相反：

tmduser

这个几何解法比较简单

波斯猫猫

△ABC是等腰直角三角形，D∈BC 且BD＝BC/3，以D为圆心以DB为半径作圆D，E∈圆D，连接 AE、CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接 AF。当 B、E、F 三点共线时，证明 AECF 是平行四边形。
若圆D是单位圆，其圆心为坐标原点，当 B、E、F 三点共线时，求 E 点的坐标。

思路(主贴图)：设∠CBF=θ，D(0, 0), 半径为r, 则易得A(r/2, 3r/2), C(2r, 0), E(rcos2θ，rsin2θ)。

又BF=3rcosθ，故F(3rcosθcosθ-r，3rcosθsinθ)。

易得EF=rcosθ，FC=3rsinθ，故rcosθ=3rsinθ。解得sinθ=1/√10，cosθ=3/√10，

即 E(4r/5, 3r/5), F(17r/10, 9r/10)。

故向量AE=(3r/10，-9r/10)=向量FC，即 AECF 是平行四边形。r=1时，E(4/5, 3/5)。