A、B、C∈⊙O，D∈AB，∠BDC=θ，其中 θ 为锐角，AD=m，DB=n，DC=r，求 ⊙O 的面积

中国上海市

A、B、C∈⊙O，D∈AB，∠BDC=ß，其中ß为锐角，AD=m，DB=n ,DC=r，求⊙O面积

天山草

中国上海市至少有一年没来数学中国了吧？你上面这个题有乱码，咋回事？

中国上海市

这个乱码就是一个角度，阿尔法、贝塔之类的符号，希腊字母不好打啊

天山草

如图：已知 m、n、r、θ，求圆面积。

基本公式准备：

编程计算圆面积：

天山草

这个结果够复杂的。期待纯几何解法。

creasson

容易直接写出各点的一个表示：
\[A = 0,D = m,B = m + n,C = m + \frac{r}{n}{e^{i\theta }}\]
令 \(C\) 又可表示为
\[C = (m + n)\frac{{1 + is}}{{1 - it}} \]
则可求得
\[s = \frac{{ - m{n^3} + {r^2} + (m - n)nr\cos \theta }}{{n(m + n)r\sin \theta }}\]
于是圆的半径
\[R = (m + n)\frac{{\sqrt {1 + {s^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {({m^2}{n^2} + {r^2} + 2mnr\cos \theta )({n^4} + {r^2} - 2{n^2}r\cos \theta )} }}{{2nr\sin \theta }}\]
圆的面积即是
\[S = \pi {R^2} = \frac{{\pi ({m^2}{n^2} + {r^2} + 2mnr\cos \theta )({n^4} + {r^2} - 2{n^2}r\cos \theta )}}{{4{n^2}{r^2}{{\sin }^2}\theta }}\]

天山草

下面是初等数学讨论-悠闲数学娱乐论坛kuing 站长的解答：

天山草

哪个公式对？


上面说明，4# 的公式可以化简成 7# 楼的最简形式。6# 楼的公式似乎有点问题。

creasson

天山草 发表于 2023-11-13 09:03
哪个公式对？

是的， 6# 式中 的 \(r\) 应替换为 \(n r\)。

王守恩

天山草 发表于 2023-11-13 08:09
下面是初等数学讨论-悠闲数学娱乐论坛kuing 站长的解答：

这样也可以。

\(根据三角形面积: AB*r\sin\theta=BC*AC*\sin C\Rightarrow\sin C=\frac{AB*r\sin\theta}{BC*AC}\)

\(R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{BC*AC}{2r\sin\theta}=\frac{\sqrt{n^2+r^2-2nr\cos\theta}\sqrt{m^2+r^2+2mr\cos\theta}}{2r\theta}\)