圆O为△ABC的外接圆,BM⊥AC,CN⊥AB,E=BM∩AC,F=CN∩AB.....,证明AOL三点共线

天山草 · 发表于 2023-11-12 20:47

如图，圆O 为△ABC 的外接圆，BM⊥AC，CN⊥AB，E=BM ∩ AC，F=CN ∩ AB，D 为 BC 中点， P=DE ∩ CM，Q = DF ∩ BN，
G∈BC 满足 QGDP 四点共圆，J=OB ∩ QG，K=OC ∩ PG， X=JK ∩ AC，Y=JK ∩ AB，L = PX ∩ QY，证明 A、O、L 三点共线。

天山草 · 发表于 2023-11-12 21:46

本帖最后由天山草于 2023-11-13 08:20 编辑

如此复杂的图形，如果用纯几何方法做，不伤脑子吗？但是用复平面解析几何法做，可以不添一条辅助线，也不用动脑子。这就是后者的优势。
下面的程序，看似很长，其实都是按题目要求、按步就班套公式依次求出各点坐标而已。写这种程序根本不需要动脑子。
有人说了，叫计算机给你干活，算什么本事？确实，我几乎什么事情都没有干，就是套公式而已。功劳属于 mathematica 这个计算软件，没有这个舞台，就没戏了。
另外，这个方法对于考试，中考，高考，是一点用处没有的。中学生千万别学这个东西，只会浪费你的宝贵时间。

天山草 · 发表于 2023-11-12 21:51

Clear["Global`*"]; (*令△ABC的外接圆为单位圆O，BC边平行于实轴，AB、AC的复斜率分别为 u^2、v^2 *)
\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; a = I u v; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/(I u v); b = (I u)/v;
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = v/(I u); c = (I v)/u; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = u/(I v);
d = (b + c)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))/2;
Foot[p_, a_, b_] := p/2 + ( \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) (a - b))/(2 (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))); (* 从P点向AB直线引垂线，垂足的复坐标 *)
\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[p_, a_, b_] := \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)/2 + (a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b + p (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)))/(2 (a - b));
e = Simplify@Foot[b, a, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[b, a, c];
f = Simplify@Foot[c, a, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[c, a, b];
k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
W1 = {m, \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - m) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\)) == 1, k[b, e] == k[b, m]}, {m, \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\)}] // Flatten;
m = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = Part[W1, 2];
W2 = {n, \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - n) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)) == 1, k[c, f] == k[c, n]}, {n, \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)}] // Flatten;
n = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
(*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
p = Simplify@Jd[k[d, e], d, k[c, m], c]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[d, e], d, k[c, m], c];
q = Simplify@Jd[k[d, f], d, k[b, n], b]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[d, f], d, k[b, n], b];
WX[a_, b_, c_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a) )/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));(*三角形 ABC 的外心坐标：*)
\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - a))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));
o1 = Simplify@WX[p, q, d]; \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[p, q, d];
W3 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o1 - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == (o1 - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)), k[b, g] == k[b, c], g != d}, {g,
\!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
g = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
j = Simplify@Jd[k[o, b], o, k[g, q], g]; \!\(\*OverscriptBox[\(j\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[o, b], o, k[g, q], g];
K = Simplify@Jd[k[o, c], o, k[g, p], g]; \!\(\*OverscriptBox[\(K\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[o, c], o, k[g, p], g];
x = Simplify@Jd[k[j, K], j, k[a, c], c]; \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[j, K], j, k[a, c], c];
y = Simplify@Jd[k[j, K], j, k[a, b], b]; \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[j, K], j, k[a, b], b];
L = Simplify@Jd[k[p, x], p, k[q, y], q]; \!\(\*OverscriptBox[\(L\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[p, x], p, k[q, y], q];
Print["AO的复斜率 kAO = ", Simplify[k[a, o]]];
Print["AL的复斜率 kAL = ", Simplify[k[a, L]]];
Print["由于 kAO = kAL，所以 AOL 三点共线。"];

复制代码

程序运行结果：

Ysu2008 · 发表于 2023-11-12 22:01

这个方法用来发现新定理还不错，用来做练习题意义就不大了。
一点陋见。

天山草 · 发表于 2023-11-12 22:15

本帖最后由天山草于 2023-11-13 08:21 编辑

此题来源于纯几何吧第 8207 题。

有没有人用纯几何方法做此题，见
https://tieba.baidu.com/p/8700838025

denglongshan · 发表于 2024-1-10 22:04

虽然结论表示简单，但是后面几个中间点表示复杂，或许其中一个顶点放到原点会简单一些？

denglongshan · 发表于 2024-1-12 22:23

天山草发表于 2023-11-12 21:46
如此复杂的图形，如果用纯几何方法做，不伤脑子吗？但是用复平面解析几何法做，可以不添一条辅助线，也不用 ...

观点错误，不能认为对考试没有用，就不了解，许多科普书对考试也没有用，但是可以开阔视野，提高兴趣。起码对竞赛有用。

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