半径r1＞r2＞r3的⊙O1,O2,O3外切于P,Q,R,ΔO1O2O3内切外接圆半径2√3,6+2√3,求圆半径

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天山草

三个圆 O1、O2、O3 两两相切，切点为 D、E、F，∠DEF =π/3，△O1O2O3的内切圆半径为 \(2\sqrt{3}\)，
外接圆半径为 6 +\(2\sqrt{3}\)，求 O1、O2、O3 各圆半径。

天山草

1. Clear["Global`*"];(*令△ABC的内切圆心 I 为单位圆，且BC边与实轴平行*)
   
2. \[Lambda] = 2 Sqrt[3]; K = E^(2 I \[Pi]/3); K = (-1/2 + I Sqrt[3]/2);
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(i\), \(_\)]\) =  i = 0; o3 = \[Lambda] ((u + v) + I (v u - 1))/(u v + 1);
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\) = \[Lambda] ((u + v) -  I (v u - 1))/(u v + 1);
   
5. o2 = \[Lambda] (u - I); \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) = \[Lambda] (u + I); o1 = \[Lambda] (v - I);
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) = \[Lambda] (v + I);
   
7. (*三个切点:*)  d = -\[Lambda] I; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = \[Lambda] I; e = \[Lambda] ( I (v - I))/(v + I);
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = \[Lambda] (-I (v + I))/(v - I); f = \[Lambda] (I (u - I))/(u + I);
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = \[Lambda] (-I (u + I))/(u - I);  (*外接圆半径:*) R = -\[Lambda] ((1 + u^2) (1 + v^2))/(
   
10.   4 (1 + u v));
    
11. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
    
12. W1 = {u, v} /. Simplify@Solve[{R == 6 + 2 Sqrt[3], k[f, e] K == k[d, e]}, {u, v}] //Flatten; u = Part[W1, 3]; v = Part[W1, 4];
    
13. o3 = Simplify[\[Lambda] ((u + v) + I (v u - 1))/(u v + 1)];
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\) = Simplify[\[Lambda] ((u + v) - I (v u - 1))/(u v + 1)];
    
15. o2 = Simplify[\[Lambda] (u - I)]; \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) =  Simplify[\[Lambda] (u + I)]; o1 = Simplify[\[Lambda] (v - I)]; \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) = Simplify[\[Lambda] (v + I)];
    
16. d = -\[Lambda] I; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = \[Lambda] I; e = Simplify[\[Lambda] (I (v - I))/(v + I)];
    
17. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[\[Lambda] (-I (v + I))/(v - I)];
    
18. f = Simplify[\[Lambda] (I (u - I))/(u + I)]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) =  Simplify[\[Lambda] (-I (u + I))/(u - I)];  
    
19. Print["O1 = ", o1]; Print["O2 = ", o2]; Print["O3 = ", o3];
    
20. Print["D = ", d]; Print["E = ", e]; Print["F = ", f];
    
21. Print["r1 = ", FullSimplify[Sqrt[(o1 - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\))]], " \[TildeTilde] ",
    
22.   N[Re@Sqrt[(o1 - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\))]]];
    
23. Print["r2 = ", FullSimplify[Sqrt[(o2 - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\))]]];
    
24. Print["r3 = ", FullSimplify[Sqrt[(o3 - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))]], " \[TildeTilde] ",
    
25.   N[Re@Sqrt[(o3 - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(o3\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))]]];

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ccmmjj

总是用计算机算法做题会被人质疑本论坛水平，提供一个几何结合三角法；

天山草

ccmmjj 发表于 2023-11-16 13:35
总是用计算机算法做题会被人质疑本论坛水平，提供一个几何结合三角法；

ccmmjj 大师，您说的水平是指纯几何功底水平，而基于复斜率的解析几何，其优势恰恰是不需要掌握多少纯几何能力，却照样能解决问题，这不是很有趣吗？  

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答已收藏。

天山草

to mmccjj:  

① 基于复斜率的复平面解析几何（下简称复斜率几何），原创者是 denglongshan 先生。
② 复斜率几何是以计算软件 mathematica 为平台，属于机器证明的范畴，因此要了解这个方法，必须对这个计算软件有一定基础。
③ 中学生千万不要学习这个复斜率几何，因为机器证明不是高考大纲范围。你学了也是丝毫没用。这个东西目前算是休闲娱乐数学，最适合退休老年人玩一玩。我估计了解复斜率几何的人全国也不超过10个人，推广很困难。
④ 下面是本人最近一年来总结的复斜率几何大部分内容。但是还不算是入门的内容。
⑤ 更简单的入门资料，我将会逐步整理并在【悠闲数学娱乐论坛】发帖。
⑥ 国内目前有几种更高级的机器证明软件，但尚属于研究者自己的秘密成果，他们不会公开发表，也都没有变成通用的几何商业软件，不像 mathematica 之类那样的成熟商业软件，全世界都在用。
⑦ 在复平面上做解析几何题，不止复斜率一种方法。而复斜率法可能是其中最简单易懂的。

复斜率概念介绍：
http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1
或者 http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

复平面上解析几何的部分公式：
http://kuing.infinityfreeapp.com ... amp;extra=#pid57113

复平面上解析几何构图法例子：
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=10523

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（1）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=10399

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（2）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（3）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=11171

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（4）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... p;extra=&page=1