介 绍 复 斜 率 解 析 几 何

denglongshan

2007年参加国际几何自动推理会议的论文，欢迎下载提出宝贵意见。

天山草

说明一下，国内对复斜率几何最先深入研究的人，正是 denglongshan 先生。

① 基于复斜率的复平面解析几何（下简称复斜率几何），原创者是 denglongshan 先生。
② 复斜率几何是以计算软件 mathematica 为平台，属于机器证明的范畴，因此要了解这个方法，必须对这个计算软件有一定基础。
③ 中学生千万不要学习这个复斜率几何，因为机器证明不是高考大纲范围。你学了也是丝毫没用。这个东西目前算是休闲娱乐数学，最适合退休老年人玩一玩。我估计了解复斜率几何的人全国也不超过10个人，推广很困难。
④ 下面是本人最近一年来总结的复斜率几何大部分内容。但是还不算是入门的内容。
⑤ 更简单的入门资料，见本帖。
⑥ 国内目前有几种更高级的机器证明软件，但尚属于研究者自己的秘密成果，他们不会公开发表，也都没有变成通用的几何商业软件，不像 mathematica 之类那样的成熟商业软件，全世界都在用。
⑦ 在复平面上做解析几何题，不止复斜率一种方法。而复斜率法可能是其中最简单易懂的。


复斜率概念介绍：
http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1
或者 http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

复平面上解析几何的部分公式：
http://kuing.infinityfreeapp.com ... amp;extra=#pid57113

复平面上解析几何构图法例子：
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=10523

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（1）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=10399

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（2）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（3）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=11171

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例（4）
http://kuing.infinityfreeapp.com ... p;extra=&page=1

Future_maths

谢谢分享！

天山草

已知三角形ABC 三个顶点的复坐标，求其垂心复坐标，该公式推导如下：



在上面的证明中，引用了【已知一直线及直线外的一点，从该点向直线引垂线，垂足的复坐标公式】，这个公式的证明见本帖 4# 。
本帖的程序，其实就是一个借助 mathematica 计算软件用【复斜率解析几何】知识做题的例子。

程序代码：

1. Clear["Global`*"];(*由三角形的三个顶点求垂心：*)
   
2. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));  (*复斜率定义*)
   
3. Foot[p_, x_, y_] := ( \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) y - x \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) + (x - y) \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) + (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)) p)/(2 (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)));  (* 从P点向直线XY引垂线，垂足的复坐标 *)
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[p_, x_, y_] := (x \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) y + (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)) p + (x - y) \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))/(2 (x - y));  
   
5. a1 = Simplify@Foot[a, b, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[a, b, c];(*从顶点A向BC边引垂线，垂足为A1*)
   
6. b1 = Simplify@Foot[b, a, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[b, a, c];(*从顶点B向AC边引垂线，垂足为B1*)
   
7. Simplify@Factor@Solve[{k[a, a1] == k[a, h], k[b, b1] == k[b, h]}, {h, \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\)}](*求AA1与BB1的交点，即是垂心*)

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ccmmjj

关于复斜率还是有点有趣的性质。不过强行运用解析几何方法，使用软件辅助计算，引用一句几何名家的话，叫作“磨坊中坐标机器的轧轧声。”

denglongshan

天山草 发表于 2023-11-18 14:28
说明一下，国内对复斜率几何最先深入研究的人，正是 denglongshan 先生。

① 基于复斜率的复平面解析几 ...

“中学生千万不要学习这个复斜率几何，因为机器证明不是高考大纲范围。你学了也是丝毫没用。”

谢谢老朋友推广，这句有待商榷。60年代初，老一辈数学家华罗庚等编了一套中学生课外书，正式收到其中一本《复数与几何》启发，才提出向量商和复斜率概念，至于谁最早提出，无法考证。
   掌握这一概念，至少对于扩大知识面，非常有利，另外，对于一些竞赛题，比较实用，不过，需要补充定义和引理。

denglongshan

denglongshan 发表于 2023-11-17 15:16
如何定义共轭导数

谢谢老师，那是三十多年前写的，由于只是业余，水平有限，是需要好好学习，限于水平，读起来很多不懂。我所定义的共轭导数，想达到与复斜率对应的效果，能力有限 ，但是可能还是有价值，因为涉及到常数如何求共轭导数，涉及到分母为0的问题。

denglongshan

吴文俊给出了力学方法证明，选自《力学在几何中的应用》，他指出，几何方法比较难证明，用复斜率显然不难。
    向中国数学会教育分会投稿，被拒绝，目前在叶军工作站发表，https://mp.weixin.qq.com/s/hjeB1ssnVw_c0EwO0qnvhg
欢迎各位提出宝贵意见。
关于向量商讨论参考：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =%CF%F2%C1%BF%C9%CC

ccmmjj

“磨坊中坐标机器的轧轧声。”这句话是“斯坦纳”说的，原话可能不是一模一样，但意思是不会错的。

天山草

ccmmjj 发表于 2023-11-21 11:20
“磨坊中坐标机器的轧轧声。”这句话是“斯坦纳”说的，原话可能不是一模一样，但意思是不会错的。

斯坦纳那个时代离现在多少年了？他那个时代完全不知道现代计算机是什么东西。用计算机证明四色定理，当时也受到许多数学家的不齿。但是这些都是逆时代潮流的思想。现在人工智能、智能机器人都在蓬勃发展，这就好比打现代战争，过去需要先练好身体，学会刀叉剑戟等十八般武艺，才敢上战场。从实用性来看，真不如学会开枪开炮省力气。100多年前的数学课本中有手工开平方、手工开立方的内容，小学生还要学会打算盘。现在这些东西都不用学了。这都得归功于计算器、计算机的发明。