PA,PB 与 ⊙O 相切于 A,B，OP 与 AB 交于 C，弦 DE 过 C 点，求证：∠CPD=∠CPE

myyour

几何题求证，想了很久，感觉简单就是想不出来。求答案。

denglongshan

用复斜率非常简单

uk702

蝴蝶定理的变化形式。

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

天山草

复斜率解析几何的解答：


上述证明中用到了复斜率的一个性质：一个角两边的复斜率之积，等于它的角平分线复斜率的平方。

denglongshan

要点：
      假设O在原点，并且是单位圆，PC在实轴上，则\(\bar{c}=c=1/p,\bar{p}=p,\bar{d}=1/d;\bar{e}=1/e;\)，所以
     \[\frac{\overrightarrow{PD}}{ \overrightarrow{PE}}=\frac{d-p}{d-e},\frac{\overrightarrow{CD}}{ \overrightarrow{CE}}=\frac{d-c}{e-c}=\frac{dp-1}{ep-1}=\frac{p-\bar{d}}{p-\bar{e}}\frac{\bar{e}}{\bar{d}}\]即 \[Arg\overline{(\frac{\overrightarrow{CD}}{ \overrightarrow{CE}})}=Arg(\frac{\overrightarrow{PD}}{ \overrightarrow{PE}})+Arg\frac{e}{d}\]
D、C和E不在一直线上，就是图中结论，在一直线上就是主贴结论。