【资料】印度初中数学竞赛：求 \(m^3+n^3=(m+n)^2\) 的整数解

dodonaomikiki

再看图片

ataorj

为简便，不妨设m<=n，并且这里只考虑正整数范围
由公式m^3+n^3=(m+n)(mm-mn+nn)
并据题意得
(m+n)=(mm-mn+nn)
=(m+n)^2-3mn
(m+n)^2-(m+n)-3mn=0 ...(0)
(m+n)=(1+(1+12mn)^0.5)/2
2(m+n)-1=(1+12mn)^0.5  ...(1)
这要求(1+12mn)首先为奇完全平方数.设mn=k
1,9,25,49,....=
1,1+8,1+8(1+2),1+8(1+2+3),...
12k=8(1+t)t/2=4t(1+t)且t>1。
3k=t(1+t)
注意:上面数列表明2(m+n)-1=2t+1，即m+n=t+1 ...(2)
(2t+1)^2=1+12mn ...(3)

t与(1+t)互质，所以t=3v或(1+t)=3v
1) t=3v,代入(2)、(3)式，可得
m+n=3v+1
mn=(3v+1)v
v=1时，m=n=2,经验证符合要求
(请稍待)
2) t=3v-1,代入(2)、(3)式，可得
m+n=3v
mn=(3v-1)v
v=1时，m=1、n=2,经验证符合要求
(请稍待)
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把(0)式看做以(m+n)为未知数的方程，m+n似乎只有两个值，现在我们已经找到了两个：3、4。但是这是牵强的理由。容易排除，再小不能了，如何排查>4时呢？
再次回到1)和2)中，m+n一定时，只有m=n才能使mn最大，
1) 2m=3v+1,mm=2mv,则m=2v
4v=3v+1,v=1.而当m、n自由变动时，引起的mn变动幅度总是>(m+n)变幅的，即，这里当v>1时，mn/(m+n)将>v而不再相等。即v只能等于1。
2) 2m=3v,mm=(3v-1)v,
则m=(3v-1)/6,1/2=(3v+1)/18v,v=1/3.而当m、n自由变动时，引起的mn变动幅度总是>(m+n)变幅的，即，这里当v=1时，最接近mn/(m+n)=v，否则不再相等。即v只能等于1。
这个总结还不够好，没理顺，再说吧。

luyuanhong

1^3+2^3=(1+2)^2 ，2^3+2^3=(2+2)^2 。

uk702

若 m、n > 0，则有：
m^3 + n^3 = (m+n)^2
=> m^2 -mn + n^2 = m + n

由于 m^2 + n^2 >= 2mn
∴ m +n = m^2 -mn +n ^2 >= mn
∴ (m-1)(n-1)  <= 1
∴ m=1 或 2，n = 1 或 2

若 m > 0 而 n < 0，显然 m = -n 是一个解，下面假设 m + n ≠ 0
令 x=m, y = -n，则有 x^3 - y^3 = (x -y)^2
∴ x^2 + xy + y^2 = x - y
但由于 x^2 + xy + y^2 >=x^2 >= x > x-y
∴ 无解。

ataorj

uk这个解答真好！

luyuanhong

楼上 uk702 的帖子很好！已收藏。

王守恩

\(求(m+n)^2=m^3+n^3的整数解。\)
\((m+n)^2=0^2\),{m,n}={0,0}={1,-1}={2,-2}=...
\((m+n)^2=1^2\),{m,n}={1,0}
\((m+n)^2=2^2\),{m,n}=
\((m+n)^2=3^2\),{m,n}={2,1}
\((m+n)^2=4^2\),{m,n}={2,2}
\((m+n)^2=5^2\),{m,n}=
\((m+n)^2=6^2\),{m,n}=
\((m+n)^2=7^2\),{m,n}=
\((m+n)^2=8^2\),{m,n}=
......

小fisher

整理出(m+n)[(m-n)^2+(m-1)^2+(n-1)^2-2]=0
m=-n
或者(m-n)^2+(m-1)^2+(n-1)^2=2，分类讨论
当(m-n)^2=0，(m-1)^2=(n-1)^2=1时，m=n=0或m=n=2
当(m-1)^2=0，(m-n)^2=(n-1)^2=1时，m=1，n=2或0
当(n-1)^2=0，(m-n)^2=(m-1)^2=1时，n=1，m=2或0

dodonaomikiki

感谢上面诸位老师！辛苦！
我慢慢研读和欣赏！

任在深

看来印度的数学在落后！
因为他们在纯粹数学中，即结构数学中点线面体不分！
中国要想成为数学强国，千万不要学习印度-印度！！？