已知 x,a 都是正实数，求函数 y=x^2-(2a-1)x+a(a+2)／x+a(a-2) 的最小值

skymaomao

已知x,a都是正实数，那么，函数\(y=x^2-\left( 2a-1\right)x+\frac{a\left( a+2\right)}{x}+a\left( a-2\right)\)的最小值是多少？

skymaomao

在线求解！！！真的很急[code][/code]

Ysu2008

先数值解，之后“目测”，得：
函数最小值： \(\frac{2\sqrt{2}}{10^6}\)
\(x=\frac{\sqrt{2}}{10^6}\)
\(a=\frac{1}{10^{12}}\)

仅供参考。

skymaomao

Ysu2008 发表于 2023-12-7 14:11
先数值解，之后“目测”，得：
函数最小值： \(\frac{2\sqrt{2}}{10^6}\)
\(x=\frac{\sqrt{2}}{10^6}\)

可是这道题答案给的是2，但没有解析

lihp2020

1 求导  =0 解得x=a  在分析 非 a 都>0
也就是 x=a 取到极小值  带入 =2

cgl_74

你要不就是把题目抄错了！要不就是这题目本身有问题。
1、首先，最小值不为2. 把x =1, a=1/2代入，y=1.5
2、可以严格证明，此题中y没有最小值。首先在正数域中没有导数零点！所以最小值必在边界。在边界上，最小值可以无限趋于0. 另x趋于0，a为x的高阶无穷小。即可证明。

建议谁出的题，你代我们骂他一顿。这不是耽误大家时间吗！

Ysu2008

我查了一下算法，如果\(a\)越出边界(\(a\le0\))，算法会设置\(a=\frac{1}{10^{12}}\)，强行输出一个近似值。

如果在其他区域求解，最小值是 2 .

cgl_74

cgl_74 发表于 2023-12-8 09:37
你要不就是把题目抄错了！要不就是这题目本身有问题。
1、首先，最小值不为2. 把x =1, a=1/2代入，y=1.5
...

我是看出来了。这道题对于你确实难了点。所以无论给你正确的解法，还是错误的解法，你自己都判断不了。
不过呢，你目的恐怕也不是学习，只是收集下答案。否则，就算是不理解，要学习的话，也是有方法的。哪怕是自己简单的用几个数据试试，感觉一下，也可以知道一个大概。
这个论坛上，连坛主都难免犯错，所以迷信权威也没用。自己懂了才算。

luyuanhong

题 已知 x,a 都是正实数，求函数 y = x^2-(2a-1)x+a(a+2)／x+a(a-2) 的最小值。

解  因为 x,a 都是正实数，当 x＞0 ，a＞0 时，可以看出必有

    y = x^2-(2a-1)x+a(a+2)／x+a(a-2) = [(x+1)(x-a)^2+2a]／x ＞ 0 。

    也就是说，在 x,a 都是正实数的情况下，这个函数值始终大于 0 。

    为了求函数的最小值，先在 x＞0 的情况下，令 a→+0 ，有

    lim(a→+0) [(x+1)(x-a)^2+2a]／x = [(x+1)(x-0)^2+0]／x = (x+1)x 。

    再令 x→+0 ，就有

               lim(x→+0) (x+1)x = (0+1)0 = 0 。

    由此可见，在 x,a 都是正实数的情况下，先令 a 趋于 +0 ，再令 x 趋于 +0 ，

函数 y = x^2-(2a-1)x+a(a+2)／x+a(a-2) 的函数值可以无限趋近于 0 ，但是不能

等于 0 。也就是说，这个函数的最小值可无限趋近于 0 ，但不能说最小值就是 0 。