已知 a1+a2+…+a8=20，a1a2…a8＜4，证明：正数 a1,a2,…,a8 中至少有一个数小于 1

skymaomao

已知\(a_1{,}a_2{,}......a_8\)均为正数\(且a_1+a_2+......+a_8=20{,}a_1a_2......a_8＜4{,}\)，证明\(a_1{,}a_2{,}......a_8\)之中至少有一个数小于1

天山草

这个问题是不是可以换一个问法：
如果 8 个正数都大于等于 1，它们的和为 20，现在要使它们的积尽可能的小，最小能小到多少呢？
如果最小能小到 4 或者比 4 还大，那就由反证法的原理证明了楼上的命题。

下面的解答来自 http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1



由上面这个证明可知，如果 8 个数中没有一个是小于 1 的，那么当其和为 20 时，其积不可能小于 13。现在已知积是 4，所以“8 个数中没有一个是小于 1 的”结论一定不能成立。于是至少有一个是小于 1 的。

天山草

原题中可以将八个数的积改为小于 12。
期待网友的其它证明方法。

Future_maths

luyuanhong

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