将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分成三组，组成三个三位数 a＜b＜c ，c=3a，b=2a，有几种做法？

ywantonio

将数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分成三组，各自组成一个数字不重复的三位数, 已知最大的三位数是最小的3倍, 次大的三位数是最小的三位数的2倍, 则满足这种情形的数字组合有多少组。

答案：4组
分别是
192, 384, 576;
219, 438, 657;
273, 546, 819;
327, 654, 981

网上有找到是写程序代码解出来，请问有没有办法用数学分析或计算答案，谢谢!

天山草

像这样的问题，大概只能编程解决。下面是用 mathematica 软件编写的一个程序。

1. Clear["Global`*"];(*kuing 的程序*)
   
2. a = Permutations[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}];(*9个元素的全排列*)
   
3. k = 0;
   
4. Do[b = Partition[a[[i]], 3];(*9个元素分成三组*)
   
5. If[b[[1, 1]] < b[[2, 1]] < b[[3, 1]],
   
6.   c1 = ToExpression[StringJoin @@ ToString /@ b[[1]]];(*第一行列表转换成数字*)
   
7.   c2 = ToExpression[StringJoin @@ ToString /@ b[[2]]];(*第二行列表转换成数字*)
   
8.   c3 = ToExpression[StringJoin @@ ToString /@ b[[3]]];(*第三行列表转换成数字*)
   
9.   If[c3 == 3 c1 && c2 == 2 c1, k++; Print[k, "-----", b]]], {i, 1,
   
10.   Length[a]}]

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程序运行结果：

ywantonio

好的 谢谢您!

Treenewbee

天山草 发表于 2023-12-10 11:19
像这样的问题，大概只能编程解决。下面是用 mathematica 软件编写的一个程序。

兄弟搞复杂了，一句代码就够了

1. Select[Table[{a,2a,3a},{a,123,329}],Union@Flatten[IntegerDigits/@#]==Range@9&]

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Treenewbee

或者：

1. a=FromDigits/@Partition[#,3]&/@Permutations[Range@9,{9}];
   
2. b=Select[a,6*# [[1]]==3*#[[2]]==2*#[[3]]&]

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Treenewbee

三个数字中，第一个数字显然在123-329之间，即百位只能是123
后两位在与2,3相乘时若不发生进位，最小的数字显然在12-32之间，简单列举一下，发现只有以下四组满足条件:  {{16, 32, 48}, {18, 36, 54}, {19, 38, 57}, {27, 54, 81}}
{16, 32, 48}因为后两位1234均已包括，弃去。
{18, 36, 54},首位只能是2，其二倍的百位45均已包括，弃去。
{19, 38, 57} 显然分别加上百位数246满足条件
{27, 54, 81}显然分别加上百位数369满足条件
遂得到两组解：
{219, 438, 657}，{327, 654, 981}
将2与19置换，3与27置换可得到其余两组解

Treenewbee

$$a+2a+3a=0(mod \ 9)\rightarrow a =0( mod \ 3)$$

1. Select[Table[a*{1, 2, 3}, {a, 123, 329, 3}],
   
2. Union@Flatten[IntegerDigits /@ #] == Range@9 &]

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王守恩

将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分成三组，组成三个三位数 a＜b＜c ，c=3a，b=2a，有几种做法？
a,b,c个位数有9种可能。
个位数=123,无解。a=471(无解),
个位数=246,有解。a=192,b=384,c=576,
个位数=369,有解。a=273,b=546,c=819,
个位数=482,无解。a=174(无解),a=354(无解),
个位数=505,无解。重复5无解,
个位数=628,无解。a=156(无解),a=396(无解),
个位数=741,有解。a=327,b=654,c=981,
个位数=864,无解。a=138(无解),a=198(无解),a=258(无解),a=318(无解),
个位数=987,有解。a=219,b=438,c=657,
说明:  a,b,c都是3的倍数,   a<987/3=329。

luyuanhong

楼上 王守恩 的解答已收藏。

王守恩

   这样想不会遗漏但需要9*7次操作。
将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分成三组，组成三个三位数 a＜b＜c ，c=3a，b=2a，有几种做法？
a,b,c个位数有9种可能。c的百位数=3,4,5,6,7,8,9,   且c是9的倍数。
       个位数=123,无解。
c=333(x),c=423(x),c=513(x),c=693(a=23x),c=783(a=26x),c=873(a=29x),c=963(a=32x),
       个位数=246,有解。a=192,b=384,c=576,
c=396(a=13x),c=486(x),c=576(有解),c=666(x),c=756(a=25x),c=846(x),c=936(a=31x),
       个位数=369,有解。a=273,b=546,c=819,
c=369(x),c=459(a=15x),c=549(a=18),c=639(x),c=729(a=24x),c=819(有解),c=999(x),
       个位数=482,无解。
c=342(x),c=432(x),c=522(x),c=612(a=20x),c=792(a=26x),c=882(x),c=972(a=32x),
      个位数=505,无解。重复5无解,
      个位数=628,无解。
c=378(a=12x),c=468(x),c=558(x),c=648(x),c=738(a=24x),c=828(x),c=918(a=30x),
      个位数=741,有解。a=327,b=654,c=981,
c=351(a=11x),c=441(x),c=531(a=17x),c=621(a=20x),c=711(x),c=891(a=27x),c=981(有解),
      个位数=864,无解。
c=324(a=10x),c=414(x),c=594(a=19x),c=684(x),c=774(x),c=864(x),c=954(a=31),
     个位数=987,有解。a=219,b=438,c=657,
c=387(x),c=477(x),c=567(a=18x),c=657(有解),c=747(x),c=837(x),c=927(x),