数学中国

标题: 推翻数学大厦的蚂蚁问题 [打印本页]

作者: 门外汉 时间: 2023-12-11 20:05
标题: 推翻数学大厦的蚂蚁问题
本帖最后由门外汉于 2023-12-13 16:53 编辑

题目是这样的：一条1米长的线段，皆知无论是多长的线段，都包含有无穷多个点。假设在这条线段的起点处有一只蚂蚂，以每分钟1米的速度向终点爬去，会出现什么情况呢？在没有任何外界干挠的情况下，人人皆知当时间为1分钟时，蚂蚁会爬到线段的终点1米处。然尔接下来我们加入若干个丝毫不会影响结果的设定，有趣的事情出现了：蚂蚁永远也爬不到终点了。
这个事情是这个样子的：当蚂蚁在1/2分钟爬到线段1/2处时，等于是将线段做了二等分，我们会发现，剩余1/2长度的线段仍然是包含无穷多个点。当蚂蚁在3/4分钟爬到3/4处时，这就等于是将剩余的1/2长度的线段又做了二等分，会发现剩余1/4长度的线段仍然是包含无穷多个点。就这样，当线段剩佘1/8、1/16、1/32、1/64……时，你会非常惊讶地发现，无论剩余线段的长度究竟有多短，剩余线段总是包含有无穷多个点。
于是有这样的问题：蚂蚁无限地这样走下去，能将线段分割得只剩下两个点吗？能将线段分割得只剩下一个点吗？
为了避免别有用心的人故意抬杠，这里所说的“分割”并不是走到那个节点时停顿一下做个分割的动作，“分割”是不占用时间的，你可以理解成当蚂蚁走到那个节点时就自然而然地完成一次分割的动作。对于这个问题，会有不同的见解：第一，有人认为无论剩余的线段有多短，皆包含无穷多个点，再继续分割下去，剩余的线段也还是包含无穷多个点，所以，无论蚂蚁怎么走，剩余线段永远包含无穷多个点，不会分割得只剩下两个点或一个点。
这种理解的错误之处就在于，如果真是这样的话，蚂蚁将永远走不到终点。
实际上，蚂蚁在1分钟时必然会走到终点，而当蚂蚁走到终点时，剩余线段的长度为0，不可能再包含无穷多个点。
第二种理解为：蚂蚁会将线段分割得只剩下一个点。按照之前的论述，这种观点应该是正确的，因为当蚂蚁走到终点时，线段上只剩下终点1这唯一的一个点。
但是，接下来看一下这个最关键的问题：蚂蚁能将线段分割得只剩下两个点吗？
如果你认为能将线段分割得只剩下两个点，则你认为存在只包含两个点的线段，这显然与线段的连续性相悖，所以这个答案肯定是不对的。
如果你认为不能将线段分割得只剩下两个点，但能将线段分割得剩有限多个点，例如一千万亿或者更多的点，这种观点也是错误的，因为如果能将线段分割得剩有限多个点，继续分割下去，必会将线段分割得只剩下两个点，如前所述，此答案错误。
如果你认为不能将线段分割得只剩下两个点，无论怎么分，皆剩无穷多个点，这个观点如之前所述是错误的，因为这意味着蚂蚁永远走不到终点。
当然，还有一个更奇葩的观点，就是认为无论怎么分割，剩余的线段皆剩无穷多个点，但最后最终分割得仅剩下一个点。
为啥说这个观点很奇葩呢？因为分割的全过程用的是二等分法，如果你不能将线段分割得只剩下两个点，又怎么能用二等分法将线段分割得只剩下一个点？
套用我之前经常说的一句话：数学是科学，不是玄学，不要把数学玩成了玄学。
所以，天下最简单也最难以解答的数学题就是这个问题：究竟能不能用二分法将线段分割得只剩下两个点？此题莫说是十年，就算是百年千年也无人能解答

作者: Nicolas2050 时间: 2023-12-11 22:16
井底之蛙

作者: 门外汉 时间: 2023-12-11 22:20

Nicolas2050 发表于 2023-12-11 14:16
井底之蛙

请井上之蛙发表一下高论

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 06:54
基础数学存在难以解决的巨大矛盾，只不过所谓的数学家们不愿意承认罢了

作者: elim 时间: 2023-12-12 08:24
吃狗屎的 jzkyllcjl 一方面引用伟大领袖马恩列斯毛的教导，称数学充满矛盾,
一方面又极尽洪荒之力吃狗屎啼猿声，旨在解决数学矛盾。所以 jzkyllcjl 自
己就是一个不愿意承认的矛盾。请问楼主，吃狗屎的 jzkyllcjl 是否因此就是
你说的数学家？呵呵

不得不说，门外汉楼主的帖子废话挺多，较真说来，主贴无非是说以 1米/秒
的速度运动的物体在少于1分钟的时间内不能完成1米的位移。但是显然这也
是一句废话，而且是跟数学是否存在巨大的矛盾一点关系都没有的废话。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-12 08:44
关于二分法，墨子针对庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，明确强调“非半弗斫，则不动，说在端”的思想，即说明二分法不可能永远进行。楼主以为如何？

作者: elim 时间: 2023-12-12 10:15

春风晚霞发表于 2023-12-11 17:44
关于二分法，墨子针对庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，明确强调“非半弗斫，则不动，说在端 ...

从现行数学看，二分法是可以一直进行下去的。从物理学的角度看，二分
法不可能无限进行下去(普朗克常数)。但有限次二分操作对应的运动时间
(分钟值)是\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^n 2^{-k} = 1-2^{-n} < 1\)，毫无疑问这段时间蚂蚁走不完一米。

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-12 11:15

elim 发表于 2023-12-12 10:15
从现行数学看，二分法是可以一直进行下去的。从物理学的角度看，二分
法不可能无限进行下去(普朗克常 ...

门外汉偏偏要操门内汉的事！

够操心的！但我要说你完全是杞人忧天！数学的大夏永远不会倒！

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 11:16

elim 发表于 2023-12-12 00:24
吃狗屎的 jzkyllcjl 一方面引用伟大领袖马恩列斯毛的教导，称数学充满矛盾,
一方面又极尽洪荒之力吃狗屎啼 ...

能否直入主题：用二分法能不能将线段切割得只剩下两个点？能不能将线段切割得只剩下一个点？

作者: elim 时间: 2023-12-12 11:20

门外汉发表于 2023-12-11 20:16
能否直入主题：用二分法能不能将线段切割得只剩下两个点？能不能将线段切割得只剩下一个点？

为什么要两个点？数学需要这种东西干什么？直入主题的话，就是不论什么分法，都是在长度为1 的线段内弄出一个内点。因而总是小于 1 的东西。这根本推不出任何数学矛盾。

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-12 12:12

门外汉发表于 2023-12-12 11:16
能否直入主题：用二分法能不能将线段切割得只剩下两个点？能不能将线段切割得只剩下一个点？

你的问题与所谓的主题无关！在你的问题下，只要时间不到1分钟蚂蚁就没有到达终点，但时间到了一分钟蚂蚁一定到达终点！

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 12:30

elim 发表于 2023-12-12 03:20
为什么要两个点？数学需要这种东西干什么？直入主题的话，就是不论什么分法，都是在长度为1 的线段内弄出 ...

请解释一下，用二分法如果不能分割到剩两个点，又怎么能分割得只剩一个点？

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 12:31
本帖最后由门外汉于 2023-12-12 04:33 编辑

金瑞生发表于 2023-12-12 04:12
你的问题与所谓的主题无关！在你的问题下，只要时间不到1分钟蚂蚁就没有到达终点，但时间到了一分钟蚂蚁 ...

你好鹦鹉，鹦鹉你好

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-12 12:54
本帖最后由金瑞生于 2023-12-12 13:13 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 12:30
请解释一下，用二分法如果不能分割到剩两个点，又怎么能分割得只剩一个点？

请不要跑题！

请你仔细琢磨自己所提蚂蚁问题的答案：只要时间没到一分钟蚂蚁自然没到达终点，但一分钟到了蚂蚁一定到达终点！你这个门外汉连三岁小孩的智商都没有！令人笑掉大牙！

作者: elim 时间: 2023-12-12 12:54
本帖最后由 elim 于 2023-12-11 21:55 编辑

门外汉发表于 2023-12-11 21:30
请解释一下，用二分法如果不能分割到剩两个点，又怎么能分割得只剩一个点？

为什么要分割到一个点？蚂蚁的偏执？
爬行等价于分割，什么逻辑？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-12 14:36
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-12 07:26 编辑

elim 发表于 2023-12-12 02:15
从现行数学看，二分法是可以一直进行下去的。从物理学的角度看，二分
法不可能无限进行下去(普朗克常 ...

   二分法问题是一个哲学问题，由于二分法思想悖得出奇，所以引起众多哲学家关注。
   一、芝诺二分法
   ①命题1：
   命题1:物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。亦说:一个人永远走不出一间屋子。
   ②数学模型
   已知数列{\(a_n\)}的通项\(a_n\)=\(\tfrac{1}{2^n}\)，则当n\(\to\)∞时，\(a_n\)≠0；或\(\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\)\(\tfrac{1}{2^n} \)≠1
   二、关于芝诺悖论的哲学解读
   对于芝诺悖论亚历士多德、墨子、休谟（Hume）、康德（Kant）、黑格尔（Hegel）、恩格斯都对其作出了相应哲学解读。
   1、亚里士多德认为:如果时间和空间一样是可以无限分割的，那么将一段时间无限二分，分出来的每一段时间用于走过对应的路程，就可以在限定时间内实现运动了；阿克琉斯是在沿着乌龟的路线追逐，那他必然要慢于乌龟一段（不管多么小的）距离，以保证乌龟的路线能够确定。假如允许阿克琉斯领先乌龟一段（不管多么小的）距离的话，悖论就不成立了；亚里士多德最后指出:芝诺的无限分割是潜在的，即在逻辑上可行，这样的分割是不现实的。
   2、墨子针对庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，提出了“非半弗斫，则不动，说在端” 的辩思。从而不承认物质无限可分。
   3、休谟还认为:时间是由不可分割的瞬间组成，广袤(空间)是由不可分割的粒子组成。二者都不是无限可分的，都有各自的最小单位；所以物体不可能永远一分为二下去，分到最后，总会遇到那个最小单位，也许是原子，也许是夸克，也许比夸克还小，但总归不可能无限分割下去；时间无法无限分割，它的最小单位也许为毫秒。总归不可能无限分割下去，并且强调指出如果有谁对经验不到又无法验证的事物存在信誓旦旦的信念，那这就不可理喻了。
   4、康德认为①、宇宙在时间上既是有限的，又是无限的(即二律背反)。②康德认为宇宙是一个本体，对于一个本体而言，我们不能对它有任何的规定，也就是是既不能说宇宙是有限的，又不能说宇宙是无限的。康德因此否认芝诺思维矛盾的存在合理性。
   5、黑格尔对芝诺悖论的解释是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，──并且这才是使得运动可能的条件。”从而否定芝诺物体永远也无法到达终点，甚至运动也永远无法开始的认知
   6、恩格斯认为“运动本身就是矛盾：甚至简单的机械的位移能够实现，也只是因为物体在同一瞬间既在一个地方又在另一个地方，既在同一地方又不在同一地方。” （《马克思恩格斯选集》第三卷第160页《反杜林论》)恩格斯强调运动的绝对性，从而否定芝诺物体永远也无法到达终点，甚至运动也永远无法开始思想。
   三、二分法的数学解读
   因为\(\small\displaystyle\lim_{n\to ∞}\)\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^n\)\(2^{-k}= \)\(\small\displaystyle\lim_{n\to ∞}\)\((1-2^{-n})=1\).
   【注意：】用ε—N语言易证当n趋向于无穷时，\(2^{-n}=0\)而不是趋向于零。或通过未定式\(\tfrac{2^{-n}}{n^{-1}}\)比较知，当n尚未趋向于无穷时，\(2^{-n}\)则已趋向于0了，所以\(2^{-n}=0\)而不是趋向于零。
   所以，从数学上亦证明二分法不能永远进行下去！

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 14:39

金瑞生发表于 2023-12-12 04:54
请不要跑题！请你仔细琢磨自己所提蚂蚁问题的答案：只要时间没到一分钟蚂蚁自然没到达终点，但一分钟 ...

鹦鹉说的废话？

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 14:40

elim 发表于 2023-12-12 04:54
为什么要分割到一个点？蚂蚁的偏执？
爬行等价于分割，什么逻辑？

因为你解释不了矛盾啊

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 14:45

春风晚霞发表于 2023-12-12 06:36
二分法问题是一个哲学问题，由于二分法思想悖得出奇，所以引起众多哲学家关注。
一、芝 ...

能否赐教一下用二分法能不能将线段分割得只剩下两个点或一个点？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-12 14:50
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-12 06:52 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 06:45
能否赐教一下用二分法能不能将线段分割得只剩下两个点或一个点？

根据墨子“非半弗斫，则不动，说在端”思想，用二分法可将一条线段分割到它的端点，就不能再分了。

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-12 14:57

门外汉发表于 2023-12-12 14:40
因为你解释不了矛盾啊

数学不能有逻辑矛盾，但可以有哲学矛盾！

作者: elim 时间: 2023-12-12 15:27

门外汉发表于 2023-12-11 23:40
因为你解释不了矛盾啊

我可以试试解释你制造的矛盾：吃上了狗屎．

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-12 16:25
门外汉网友：第一，你说的问题就是两千多年前的“芝诺悖论”这个悖论提出了两个数学理论中基本问题“点有没有大小的问题与无穷集合的的存在问题”。虽然对这两个问题，亚里士多德与欧几里得已有论述，但不够彻底。第二，你说过希尔伯特的无穷旅馆问题，但希尔伯特计划中提出的元语言（即普通语言），没有使用Latex语言，而且使用了希尔伯特说的“由于无穷不能在经验中直接验证，故希尔伯特称之为理想元素，并将古典数学中以实无穷为前提的命题称做理想命题，反之将有直观意义的命题称作现实命题”；还使用了希尔伯特计划中倡导的有穷主义的构造方法（即是一种以有穷主义为特征的构造性数学研究方法）。第三，笔者原来是水利技术员，也是数学的门外汉。但经过70年的研究，笔者写出了“唯物辩证法与数学基础”的论文，共约三万字，第一章，改革了无穷集合理论，消除了芝诺无穷基数；第二章，提出了点有无大小的对立统一法则，第三章，改革了实数理论，第四章，使用了马克思的论述改革了微积分学。欢迎你提出意见。

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 17:09

春风晚霞发表于 2023-12-12 06:50
根据墨子“非半弗斫，则不动，说在端”思想，用二分法可将一条线段分割到它的端点，就不能再分了 ...

也就是说，你认为用二分法能将线段分割得只剩下一个点，也就是线段的端点，是这个意思吧？
我就喜欢直面主题的，不回避，不弯弯绕，你们看E先生拈轻避重，东躲西绕的，多累！

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-12 17:54
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-12 09:58 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 09:09
也就是说，你认为用二分法能将线段分割得只剩下一个点，也就是线段的端点，是这个意思吧？
我就喜欢直面 ...

墨子的“非半弗斫，则不动，说在端”及二分法的数学解读，回答直接，语意明显，无需再作任何诠释！望先生自酌！

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 18:15

春风晚霞发表于 2023-12-12 09:54
墨子的“非半弗斫，则不动，说在端”及二分法的数学解读，回答直接，语意明显，无需再作任何诠 ...

那你说说用二分法能将线段分割得只剩下一个点吗？

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-12 18:51
本帖最后由金瑞生于 2023-12-12 18:54 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 18:15
那你说说用二分法能将线段分割得只剩下一个点吗？

毛主席认为物质是无限可分的！你的话是违反毛主席的哲学观点的！因此你的观点不仅违反现代数学理论，而且也违反唯物辩证法！

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-12 19:28
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-12 11:47 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 10:15
那你说说用二分法能将线段分割得只剩下一个点吗？

   墨子的“非半弗斫，则不动，说在端”及二分法的数学解答：
   因为\(\small\displaystyle\lim_{n\to ∞}\)\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^n\)\(2^{-k}= \)\(\small\displaystyle\lim_{n\to ∞}\)\((1-2^{-n})=1\).所以，从数学上亦证明二分法不能永远进行下去！
   【注意：】用ε—N语言易证当n趋向于无穷时，\(2^{-n}=0\)而不是趋向于零。或通过未定式\(\tfrac{2^{-n}}{n^{-1}}\)计算知，无穷小量\(2^{-n}\)是无穷小量\(n^{-1}\)的较高阶无穷小。即当n尚未趋向于无穷时，\(2^{-n}\)则早已趋向于0了，所以，当n趋向于∞时，\(2^{-n}=0\)而不是趋向于零。这个问题亦可在同一坐标系中，画出y=\(\frac{1}{x}\)和y=\(\frac{1}{2^x}\)图象观察理解当n→∞时，y=\(\frac{1}{2^n}\)的值是0，而不是趋向于0。
   至于先生所问【用二分法能将线段分割得只剩下一个点吗？】不属于芝诺二分法能否永远进行的解答范畴。答案还是留给先生自己去想吧！

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 19:50

春风晚霞发表于 2023-12-12 11:28
墨子的“非半弗斫，则不动，说在端”及二分法的数学解答：
因为\(\small\displaystyle\ ...

从你的回答上来看，你应该是认为二分法的过程可以结束，线段能被分割得只剩下一个点，是不是这个样子的？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-12 21:12
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-12 13:14 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 11:50
从你的回答上来看，你应该是认为二分法的过程可以结束，线段能被分割得只剩下一个点，是不是这个样子的？

非也。芝诺【二分法的过程可以结束】与【线段能被分割得只剩下一个点】不是同一回事！主帖中蚂蚁爬过的各二分点仍然都在线段上，当蚂蚁爬到端点1处时，二分过程结束。这与【线段能被分割得只剩下一个点】有什么关系？

作者: 门外汉 时间: 2023-12-12 22:29

春风晚霞发表于 2023-12-12 13:12
非也。芝诺【二分法的过程可以结束】与【线段能被分割得只剩下一个点】不是同一回事！主帖中蚂 ...

数学教授不会看不懂题意吧？当蚂蚁爬到1/2位置时，剩佘的线段仍有无穷多个点，当爬到3/4位置时，剩佘线段仍有无穷多个点……问的是：蚂蚁能将剩余线段分割得只剩下一个点吗？
进一步提示：当蚂蚁爬到终点时，剩余的线段仍有无穷多个点，你认为这说法对吗？
我觉得你不是看不懂，而是假装看不懂，是不是这个样子的？

作者: elim 时间: 2023-12-13 00:02

春风晚霞发表于 2023-12-11 17:44
关于二分法，墨子针对庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，明确强调“非半弗斫，则不动，说在端 ...

墨子的思想不是数学思想，建议有空再谈．
楼主所念叨的分点构成了一个无穷序列，
如果蚂蚁的爬行要楼主在各分点放行，而
放行操作需要时间，那么整个过程需要无
穷长的时间，蚂蚁永远到不了终点．
可是楼主给出的蚂蚁运动速度否定了它
会被楼主在各分点放行/签证之类所担搁，
也就是说蚂蚁会经过那些些分点但运动与
楼主对分点的念叨一毛钱关系都没有．
把分点永远念叨不完解读为蚂蚁永远到
不了终点，是具有芝诺特色的吃狗屎行为．

作者: elim 时间: 2023-12-13 00:47
请问门外汉，你这是第几次推翻数学大厦了？32楼有没有达到门外汉能明白的”矛盾”解释？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-13 05:25
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-12 22:01 编辑

门外汉发表于 2023-12-12 14:29
数学教授不会看不懂题意吧？当蚂蚁爬到1/2位置时，剩佘的线段仍有无穷多个点，当爬到3/4位置时，剩佘线段 ...

当蚂蚁爬到终点时，剩余的线段长度为0，何来仍有无穷多个点？殴几里得认为点不可再分，你认为这说法对吗？恩格斯认为矛盾解决了，无限也就终止了。你不能为了推翻数学大厦，而去把剩余长度为0的线段(即终点)再作无限分割吧！？

作者: 门外汉 时间: 2023-12-13 05:57

春风晚霞发表于 2023-12-12 21:25
当蚂蚁爬到终点时，剩余的线段长度为0，何来无穷多个点？殴几里得认为点不可再分，你认为这说法 ...

当蚂蚁到达终点时，分割的过程也就结束了，所以最后只剩下一个点，也就是线段的另一个端点，是不是这个意思？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-13 05:59

elim 发表于 2023-12-12 16:02
墨子的思想不是数学思想，建议有空再谈．
楼主所念叨的分点构成了一个无穷序列，
如果蚂蚁的爬行要 ...

墨子的“非半弗斫，则不动，说在端”，讲的是“一尺之棰，日取其半”的操作，在到达端点(即剩余长度为零)时就不再“斫”了，因为点不可再分嘛！所以，墨子的思想与数学上的极限可达思想是一致的。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-13 06:18

门外汉发表于 2023-12-12 21:57
当蚂蚁到达终点时，分割的过程也就结束了，所以最后只剩下一个点，也就是线段的另一个端点，是不是这个意 ...

蚂蚁爬行过程并非线段分割过程。当蚂蚁到达终点时，蚂蚁爬行过程也就结束了。何来【最后只剩下一个点，也就是线段的另一个端点】之说？蚂蚁爬行结束后，钱段仍然是原来的那条线段，结束的只是蚂蚁爬行的动作，而并非把蚂蚁爬过的线段扔去。故此【最后只剩下一个点，也就是线段的另一个端点】纯属是无稽之淡！

作者: elim 时间: 2023-12-13 07:10

门外汉发表于 2023-12-12 14:57
当蚂蚁到达终点时，分割的过程也就结束了，所以最后只剩下一个点，也就是线段的另一个端点，是不是这个意 ...

分割是一种寄生的，虚拟的过程。它没有最后操作，对这种东西的讨论是经院哲学的事情。

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-13 07:48
门外汉网友：第一，你说的问题就是两千多年前的“芝诺悖论”。这个悖论提出了两个数学理论中基本问题“点有没有大小的问题与无穷集合的的存在问题”。虽然对这两个问题，亚里士多德与欧几里得已有论述，但不够彻底。第二，你说过希尔伯特的无穷旅馆问题，但希尔伯特计划中提出的元语言（即普通语言），没有使用Latex语言，笔者使用了希尔伯特说的“由于无穷不能在经验中直接验证，故希尔伯特称之为理想元素，并将古典数学中以实无穷为前提的命题称做理想命题，反之将有直观意义的命题称作现实命题”；还使用了希尔伯特计划中倡导的有穷主义的构造方法（即是一种以有穷主义为特征的构造性数学研究方法）。第三，笔者原来是水利技术员，也是数学的门外汉。但经过70年的研究，笔者写出了“唯物辩证法与数学基础”的论文，共约三万字，第一章，改革了无穷集合理论，消除了芝诺无穷基数；第二章，提出了点有无大小的对立统一法则，第三章，改革了实数理论，第四章，使用了马克思的论述改革了微积分学。欢迎你提出意见。

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-13 13:48
门外汉根据值诺悖论提出推翻现行数学论述是需要的，第一，线段二等分点不是无有大小的理想，十等分也是如此；第二，线段{0，1}的无穷次等分操作进行不到底。第三，无尽小数是以十进小数为项的无穷数列的简写，呀不是定数；第四，人们无法写出实数集合中与0或1挨着的实数是什么？实数集合无法构造完毕；第五，导数计算中Δｘ趋向于0，但不能到达0.

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-13 17:37

elim 发表于 2023-12-13 07:48
墨子的思想不是现行数学思想，建议有空再谈．

楼主所念叨的分点构成了一个无穷序列，如果蚂 ...

楼主的蚂蚁问题就是芝诺的二分法悖论。这个悖论说明现行无穷级数理论给出的，a(n)=1/2^n 的无穷项和无法进行到底，它只能趋向于1，但永远达不到1 。

作者: 门外汉 时间: 2023-12-13 19:05

春风晚霞发表于 2023-12-12 22:18
蚂蚁爬行过程并非线段分割过程。当蚂蚁到达终点时，蚂蚁爬行过程也就结束了。何来【最后只剩下一 ...

这么说吧：一条1米长的线段，蚂蚁从线段的0点走到1/2处，相当于是对线段做了一个分割，剩余的线段（也就是蚂蚁剩余的路程）有无穷多个点。
这个说法有什么疑议吗？如果有疑议，我继续对这个问题进行说明。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-13 22:09

门外汉发表于 2023-12-13 11:05
这么说吧：一条1米长的线段，蚂蚁从线段的0点走到1/2处，相当于是对线段做了一个分割，剩余的线段（也就 ...

当剩余线段的长度不为0时，剩余线段上确有无限多个点，因此二分操作尚可继续。当蚂蚁爬到线段终点时，剩余线段长度为0，剩余线段的中点不存在。这时二分操作必然结束。正如恩格斯所说：正因为无限性是矛盾，所以它是无限的、在时间上和空间上无止境地展开过程。如果矛盾消除了，那无限性就终结了(参见恩格斯《反杜林论》人民出版社2018年2月版P53页)。
先生在主帖题设中多次强调【无论剩余线段的长度究竟有多短，剩余线段总是包含有无穷多个点】，请先生自酌，当剩余线段的长度为0时，剩余线段也包含无穷多个点吗？

作者: 门外汉 时间: 2023-12-13 22:50

春风晚霞发表于 2023-12-13 14:09
当剩余线段的长度不为0时，剩余线段上确有无限多个点，因此二分操作尚可继续。当蚂蚁爬到线段终 ...

当剩余线段长度为0时，剩余线段不可能再包含无穷多个点，而是只剩下一个点，这个点就是线段的另一端点。
我说得对吗？

作者: 门外汉 时间: 2023-12-13 23:44
1楼主贴中有这样的一句话请注意一下：“为了避免别有用心的人故意抬杠，这里所说的“分割”并不是走到那个节点时停顿一下做个分割的动作，“分割”是不占用时间的，你可以理解成当蚂蚁走到那个节点时就自然而然地完成一次分割的动作”

作者: elim 时间: 2023-12-14 01:20

春风晚霞发表于 2023-12-11 17:44
关于二分法，墨子针对庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，明确强调“非半弗斫，则不动，说在端 ...

墨子的思想不是现行数学思想，建议有空再谈．

楼主所念叨的分点构成了一个无穷序列，如果蚂蚁的爬行要楼主在各分点放行，
而放行操作需要时间，那么整个过程需要无穷长的时间，蚂蚁永远到不了终点．

可是楼主给出的蚂蚁运动速度否定了它会被楼主在各分点放行/签证之类所担搁，
也就是说蚂蚁会经过那些分点但其运动与楼主对分点的念叨一毛钱关系都没有．

把分点永远念叨不完解读为蚂蚁永远到不了终点, 是具有芝诺特色的吃狗屎行为,
也是楼主所谓的要人解释矛盾的本质。综上，蚂蚁问题推翻了企图推翻数学大厦的
苟苟营。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 06:32
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-13 23:34 编辑

   从数学的角度看，无论是芝诺的二分法、庄子的“一尺之棰，日取其半”，还是楼主的蚂蚁爬行一米长线段，其实质都涉及当n→∞时，\(\frac{1}{2^n}\)是等于0，还是趋向但不等0的问题。下边我们分别用威尔斯特拉斯和柯西的极限定义，证明当n→∞时，\(\frac{1}{2^n}\)等于0，而不是趋向但不等于0.
   证法1：
   对任意预先给定的无论怎小的正数ε，存在N=\([log_2^{\frac{1}{ε}}\)]+1，当n>N时恒有| \(\frac{1}{2^n}-0\)|=\(\frac{1}{2^n}\)<\(\tfrac{1}{2^{[log_2^{\frac{1}{ε}}]+1}}\)<\(\tfrac{1}{2^{log_2^{\frac{1}{ε}}}}\)=\(\dfrac{1}{\frac{1}{ε}}\)=ε.由ε的任意性知，当n→∞时\(\frac{1}{2^n}=0\)，绝非趋向但不等于0.
   证法2：
   因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0\)；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0\).所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1/n}{1/2^n}\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2^n}\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^{n-1}}=0\)(施篤兹定理)，所以当n趋向于无穷时，\(\frac{1}{2^n}\)是\(\frac{1}{n}\)的高阶无穷小量.也就是说，当n尚未趋向于无穷时，\(\frac{1}{2^n}\)早己达到0了。即我们用柯西极限定义，仍可证得当n→∞时\(\frac{1}{2^n}=0\)而绝非趋向但不等于0.
   根据上面的分析，无论是芝诺二分法、楼主主帖的仿芝诺二分法中的“永远”，还是庄子一尺之棰中的“万世”均是不依数理的瞎蒙！

作者: 门外汉 时间: 2023-12-14 07:43

春风晚霞发表于 2023-12-13 22:32
从数学的角度看，无论是芝诺的二分法、庄子的“一尺之棰，日取其半”，还是楼主的蚂蚁爬行一米长线 ...

那请你回答一下，当等于0时，还剩多少个点？能剩无穷个点吗？

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-14 08:38

春风晚霞发表于 2023-12-13 22:32
从数学的角度看，无论是芝诺的二分法、庄子的“一尺之棰，日取其半”，还是楼主的蚂蚁爬行一米长线 ...

用华东师大《数学分析》中的定义1，得当n→∞时，郑旭变量1/2^n 趋于0，而不是到达0，等于0. ，所以，春风晚霞说错了、

作者: elim 时间: 2023-12-14 08:48

春风晚霞发表于 2023-12-11 17:44
关于二分法，墨子针对庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，明确强调“非半弗斫，则不动，说在端 ...

墨子的思想不是现行数学思想，建议有空再谈．

楼主所念叨的分点构成了一个无穷序列，可是楼主给出的蚂蚁运动速度否定了它
会被楼主在各分点放行/签证之类所担搁，也就是说蚂蚁会经过那些分点但其运动与
楼主对分点的念叨一毛钱关系都没有．

把分点永远念叨不完解读为蚂蚁永远到不了终点, 是具有芝诺特色的吃狗屎行为,
也是楼主所谓的要人解释矛盾的本质。综上，蚂蚁问题推翻了企图推翻数学大厦的
苟苟营。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 08:57
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 03:54 编辑

门外汉发表于 2023-12-13 23:43
那请你回答一下，当等于0时，还剩多少个点？能剩无穷个点吗？

   当n→∞时\(\frac{1}{2^n}=0\)而绝非趋向但不等于0.时，庄子“一尺之棰，日取其半”的工作自然结束，芝诺己走出他永远走不出的屋子。楼主的蚂蚁已爬到线段的另一个端点。
   根据你主帖的题设，你的蚂蚁在1分钟内已爬完1米长的线段，这时线段上当n→∞时\(\frac{1}{2^n}=0\)而绝非趋向但不等于0.时，庄子“一尺之棰，日取其半”的工作自然结束，芝诺己走出困居他的屋子。楼主的蚂蚁已爬到线段的另一个端点。
   根据你主帖的题设，你的蚂蚁在1分钟内已爬完1米长的线段（即你的蚂蚁在1分钟内已遍历该线段上的所有点），这时线段蚂蚁尚未爬行的点(即剩余点)为0个！这时虽然仍有\(\frac{0}{2}\)\(=\frac{0}{4}\)\(=\frac{0}{8}\)\(=…=\frac{0}{2^m}\)\(…=0\)形式上的无限分割，但实质上蚂蚁仍停留在线段的另一端点。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 09:12

jzkyllcjl 发表于 2023-12-14 00:38
用华东师大《数学分析》中的定义1，得当n→∞时，郑旭变量1/2^n 趋于0，而不是到达0，等于0. ，所以，春 ...

不管哪家《数学分析》中的定义，都没有【当n→∞时，郑旭变量（郑旭变量是个什么东西？）1/2^n 趋于0，而不是到达0，等于0】的提法！趋向但不等于极限理论，必然导致任何常数都不等于它自身的谬误！望曹老头不要以此误导他人！

作者: elim 时间: 2023-12-14 09:57

春风晚霞发表于 2023-12-13 18:12
不管哪家《数学分析》中的定义，都没有【当n→∞时，郑旭变量（郑旭变量是个什么东西？）1/2^n 趋 ...

1）"当n→∞时" 不是一个有明确意义的片语。
2）\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = A\) 在现行分析的教科书中都不会假定 \(a_n\) 达到 \(A\).

作者: 门外汉 时间: 2023-12-14 09:58

发现了一个有趣的现象，曾经老曹头和老E头是死对头，老E头和老春头是亲密盟友，然尔对于此帖中的问题，老曹头和老E头结成了亲密盟友，齐力反对老春头

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 11:00
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 03:01 编辑

elim 发表于 2023-12-14 01:57
1）"当n→∞时" 不是一个有明确意义的片语。
2）\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = A\) 在现行分 ...

关于极限可达的提法，请先生参阅徐利治先生《论无限》P22—P25页之〔2.6 关于极限可达到情形的讨论〕，当然先生如能找到那个比预给定的、无论怎样小的正数ε还要小的非0正数。您确实可以理直气壮的否定极限的可达性。不然呢？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 11:22
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 03:26 编辑

门外汉发表于 2023-12-14 01:58
发现了一个有趣的现象，曾经老曹头和老E头是死对头，老E头和老春头是亲密盟友，然尔对于此帖中的问题， ...

楼主不必得意，elim先生与春风晚霞学术上的分歧，并非elim先生为你【推翻数学大厦】助力。根据楼主主帖的题设，你的蚂蚁在1分钟内就能从线段的左端点爬到右端点，所以当\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0\)时，蚂蚁已遍历了该线段上的所有点。又何况你的那些二分点呢？所以蚂蚁永远也爬不到终点只能是你的臆想了。

作者: elim 时间: 2023-12-14 12:14

春风晚霞发表于 2023-12-13 20:00
关于极限可达的提法，请先生参阅徐利治先生《论无限》P22—P25页之〔2.6 关于极限可达到情形的 ...

所谓可达，就是有\(n\)使得 \(a_n = A=\displaystyle\lim_{m\to\infty} a_m\). 不管徐利治或是谁，都要讲道理。如果拿不出这个 n, 就闭嘴。

我说了，分割是主观的，寄生的，关于运动非第一性的。分割没玩没了是事实，1分钟蚂蚁达到终点也是事实，这并不矛盾，因为没玩没了的分割不是耗时的没完没了，而是枚举的没完没了，分割过程被不以人的意志为转移的时间的推移提溜到1分钟的终点而半途而废。整个过程没有矛盾，但相对于蚂蚁的运动分割是喧宾夺主偷换概念，是芝诺乃至 jzkyllcjl，楼主的吃狗屎行为。

作者: 门外汉 时间: 2023-12-14 12:19

春风晚霞发表于 2023-12-14 03:22
楼主不必得意，elim先生与春风晚霞学术上的分歧，并非elim先生为你【推翻数学大厦】助力。根据 ...

我可没说过蚂蚁永远爬不到终点呀，你可不要乱说话

作者: elim 时间: 2023-12-14 12:21

门外汉发表于 2023-12-13 21:19
我可没说过蚂蚁永远爬不到终点呀，你可不要乱说话

你认为数学家需要解释你偷换概念得来的所谓矛盾。

作者: elim 时间: 2023-12-14 14:37

门外汉发表于 2023-12-13 18:58
发现了一个有趣的现象，曾经老曹头和老E头是死对头，老E头和老春头是亲密盟友，然尔对于此帖中的问题， ...

与吃狗屎的 jzkyllcjl 不同，
我同意 jzkyllcjl \(\{\frac{1}{n}\}\) 达不到 \(0\) 但肯定 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0\) 这个等式成立。
我肯定 \(\small\displaystyle\sum_{n{\large =} 1}^m \frac{3}{10^n} =\frac{1}{3}\big(1-\frac{1}{10^m}\big) < \frac{1}{3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}\)
但吃狗屎的 jzkyllcjl 否定最后这个等号.

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 14:43
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 12:50 编辑

elim 发表于 2023-12-14 04:14
所谓可达，就是有\(n\)使得 \(a_n = A=\displaystyle\lim_{m\to\infty} a_m\). 不管徐利治或是谁，都要讲 ...

elim先生：
   徐利治，1920年生，张家港市东莱人，毕业于西南联大。一级教授，著名数学家，数学教育家。2019年3月11日11:40逝世，享年99岁。
   徐利治、张景中、张奠宙三位先生并称为“一徐二张”，被誉为当代中国数学学术的三座高峰！
   徐利治先生所说的“极限可达”，是指若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则当n→∞时，f(n)=A.
   柯西趋向说，极易造成因为∞只表示变化趋势，所以n只能趋向于无穷，而不能等于∞。所以曹氏据此发明了“趋向但不等于”的趋向性极限！在现行教科书中常见“常数的极限就是它自身”的提法。即若β是常数，则有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}β=β\)，也就是说当n→∞，β=β。若按曹氏的“趋向但不等于”的趋向性极限理论则有常数β趋向但不等于常数β。elim先生，你同意这样的解读吗？
   elim先生，在\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)中自变量n趋向于∞时，函数f(n)=A是可达的。根据极限的ε—N语言中，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)\(\iff\)“对任意预先给定的、无论怎样小的正ε，存在N(ε)，当n>N(ε)时，恒有| f(n)-A|<ε”，由ε的任意性，我们知道小于任意ε的量只有0.即只有| f(n)-A|=0，所以f(n)=A.
   在《数学分析》中，讲极限的ε—N语言时，老师都要强调ε的二重性：①ε的任意性。ε的任意性保证了极限唯一性(也就是极限可达性);②ε的确定性：一旦ε给定，我们便可把ε像常数一样带入计算，以求出相应N(ε)，这样也就能在N(ε)的后边拿出一个 n,使得【\(a_n=A\)\(=\displaystyle\lim_{n \to ∞}a_n\)了。】
   elim先生，这段时间你力战群雄。论坛中有多少新鲜的、干奇百怪的东西，您为什么不让制造这些奇谈怪论的学者“闭嘴”，而偏要让曾经跟您学习LaTex语言的学生，或与您一道维护现行数学理论的同盟者闭嘴呢？

作者: elim 时间: 2023-12-14 15:09
本帖最后由 elim 于 2023-12-14 00:13 编辑

春风晚霞发表于 2023-12-13 23:43
elim先生：
徐利治，1920年生，张家港市东莱人，毕业于西南联大。一级教授，著名数学家， ...

徐利治的这种若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=A\), 则当\(n\to\infty\) 时\(f(n) = A\).
或许在他年富力强的时代还被接受，但随着数理逻辑的不断成熟，数学分析的进一步
规范化，这种说法肯定已经被扬弃了。

当\(n\to\infty\) 时是什么时候或是什么时刻？能用形式语言写出来吗？

如果从极限的 \(\varepsilon-N\) 定义出发，我们可以不那么讲究地说当\(n\)充分大时\(|f(n)-A|\)
任意小。但严格地还是不能保证 \(f(n)=A\).

退一万步说，徐把非常接近叫作相等是弊大于利。

破解芝诺佯谬不需要徐的说法。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 15:47
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 08:21 编辑

elim 发表于 2023-12-14 07:09
徐利治的这种若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=A\), 则当\(n\to\infty\) 时\(f(n) = A\).
或许 ...

elim先生：
   在闭嘴之前，我还想作如下三点申辩：
   ①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，\(\iff\)n→∞时，f(n)=A(等价性可证，本帖从略)。
   ②、对预先给定的无论怎样小的ε>0，存在N(ε)，当n>N(ε)这一时刻便是n→∞的时候或n→∞的时刻。
   ③要想保证｜f(n)-A｜小于任意小的ε，只有｜f(n)-A｜=0。否则若｜f(n)-A｜≠0，则设｜f(n)-A｜=α>0，取ε=\(\frac{α}{2}\)，则有｜f(n)-A｜=α>\(\frac{α}{2}\)=ε，也就是说当｜f(n)-A｜≠0时，不能保证｜f(n)-A｜小于任意小的ε！

作者: elim 时间: 2023-12-14 17:23
本帖最后由 elim 于 2023-12-14 02:53 编辑

春风晚霞发表于 2023-12-14 00:47
elim先生：
在闭嘴之前，我还想作如下三点申辩：
①、\(\displaystyle\lim_{n \to \in ...

春风晚霞先生，我以为任何因方便而不严格的说法到头来都是加倍的不方便．
不如给出序列极限的严格定义：给定序列\(f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{R}\), 若有\(A\in\mathbb{R}\)
任给\(\varepsilon>0,\) 存在\(N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\) 使\(|f(n)-A|< \varepsilon\) 对一切 \(n(> N_{\varepsilon})\) 成立，
则称 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)=A.\) 根据这个定义易见\(\displaystyle\lim_{m\to\infty}\small\frac{1}{m}=0< \frac{1}{n}\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\)

所以先生沿用的说法不太严格．不适合稳准狠地对付青山，jzkyllcjl 这些无赖．

作者: 门外汉 时间: 2023-12-14 18:21
老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

作者: mathmatical 时间: 2023-12-14 19:52
压死骆驼的最后一根稻草，，

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-14 21:07
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 13:25 编辑

elim 发表于 2023-12-14 09:23
春风晚霞先生，我以为任何因方便而不严格的说法到头来都是加倍的不方便．
不如给出序列极限的严格定义 ...

elim先生：
大概您会错意了，我们使用的是威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)，使在n>\(N_ε\)时，一切\(x_n\)的值满足不等式｜\(x_n\)-a｜<ε，则常数a称为整序变量x=\(x_n\)的极限。记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)。
我在 61楼所说的〖徐利治先生所说的“极限可达”，是指若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则当n→∞时，f(n)=A。〗该命题可简单说成是：若数列极限存在，则必可然可达，命题的证明也较简单，先生亦可用您的严格定义自行证明。威尔斯特拉斯数列极限是柯西数列极限的进一步完善，彻底杜绝了“趋向但不等于”的弊端。事实上柯西的数列收敛原理的充分性，用他的极限趋向说就莫法证明，所以要证明它就必须用威尔斯特拉斯的ε—N语言进行论证。

作者: elim 时间: 2023-12-14 23:01

门外汉发表于 2023-12-14 03:21
老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

蚂蚁能爬到头，对分割的念叨却总是烂尾．这就推翻了对数学的推翻．

作者: elim 时间: 2023-12-15 00:00
本帖最后由 elim 于 2023-12-14 09:30 编辑

春风晚霞发表于 2023-12-14 06:07
elim先生：
大概您会错意了，我们使用的是威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不 ...

若数列极限存在，则必可然可达，命题的证明也较简单，先生亦可用您的严格定义自行证明。

先生证给我看看？
我看问题出在“什么是可达”上．如果说序列可达其极限的意思就是序列的极限等于序列的极限这种废话．那么徐利治没有错，只是啰嗦了点．
如果说序列达到其极限\(a\)是指存在某序数\(N\)使\(a_n=a\;(\forall n> N)\) 这种较真准则，那么徐利治就马失前蹄了．因为\(0< 1/n\to 0\) 是圆不了的反例．

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-15 05:57
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-14 22:55 编辑

elim 发表于 2023-12-14 16:00
先生证给我看看？
我看问题出在“什么是可达”上．如果说序列可达其极限的意思就是序列的极限等于序 ...

elim先生：
   威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)，使在n>\(N_ε\)时，一切\(x_n\)的值满足不等式｜\(x_n\)-a｜<ε，则常数a称为整序变量x=\(x_n\)的极限。记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)。
   先生置疑“什么是极限可达？”春风晚霞以为命题：“若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则\(n→∞时，f(n)=A\)”亦可作为极限可达的定义。
   现在我们证明数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限可达。由于数列\(\{\frac{1}{n}\}\)收敛极为缓慢，所以我们可用施篤兹定理证明其极限可达。
   证明：在施笃兹定理\((\frac{*}{∞})型\)中，令\(x_n\)=1；\(y_n\)=n.显然\(x_n\)、\(y_n\)满足定理①、②两个条件。并且\(\tfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\tfrac{0}{1}=0\)。所以数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限是0，而不是趋向于0。
   注意：极限趋向说不定因素较多，比如“充分逼近”、“无限靠扰”、“趋向但不等于”……，其“逼近”、“靠拢”、“趋向”……的程度皆无法界定。故用柯西极限在作定量分析时需要慎重。
   顺便说说，徐利治先生没有马失前蹄．0<1/n→0也不是极限可达的反例！

作者: elim 时间: 2023-12-15 06:53

春风晚霞发表于 2023-12-14 14:57
elim先生：
威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)， ...

徐氏达到其实是似是而非的东西: 虽然\(1/n\to 0\;(n\to\infty)\), 但无论n 怎么大，都有 \(1/n \ne 0\).

作者: 门外汉 时间: 2023-12-15 08:04

elim 发表于 2023-12-14 22:53
徐氏达到其实是似是而非的东西: 虽然\(1/n\to 0\;(n\to\infty)\), 但无论n 怎么大，都有 \(1/n \ne 0\ ...

强烈支持，所以蚂蚁永远走不到1米

作者: elim 时间: 2023-12-15 08:11

门外汉发表于 2023-12-14 17:04
强烈支持，所以蚂蚁永远走不到1米

1/n 恒大于0 是明显的事实．但门外汉你的“所以”是非常弱智的．

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-15 08:22
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-15 02:06 编辑

elim 发表于 2023-12-14 22:53
徐氏达到其实是似是而非的东西: 虽然\(1/n\to 0\;(n\to\infty)\), 但无论n 怎么大，都有 \(1/n \ne 0\ ...

elim先生：
倒不是【徐氏达到其实是似是而非的东西】，而是您无意识地犯了用感性认知取代理性分析的错误。您的【虽然1/n→0(n→∞)，但无论n 怎么大，都有1/n≠0】，与范氏、曹氏的“趋向但不等于”的认知有什么两样？

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-15 08:23
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2023-12-15 05:44 编辑

elim 发表于 2023-12-15 00:11
1/n 恒大于0 是明显的事实．但门外汉你的“所以”是非常弱智的．

lim n→∞，数列∑1/2^i (i从1到n)永远达不到1，只能趋于1、

作者: elim 时间: 2023-12-15 10:45

春风晚霞发表于 2023-12-14 17:22
elim先生：
倒不是【徐氏达到其实是似是而非的东西】，而是您无意识地犯了用感性认知取代理性分 ...

极限是一个定数，它也是收敛于它的序列的内在性质．例如无尽小数作为一个级数和，其值被定义为部分和序列的极限．部分和达不到极限被jzkyllcjl 拿来说级数和达不到所论极限．而人类数学认为部分和虽然达不到极限，但级数和就是所论极限，

这就是区别．不需要徐氏达到这种强词奇理．

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-15 13:21
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-15 05:25 编辑

《君臣对》中有这样一段文字：“春雨如膏，农夫喜其润泽，行人恶其泥泞；秋月如镜，佳人喜其玩赏，盗贼恨其光辉。”同一事物，不同的人有不同的看法。不管是谁，如果不能通过严谨地逻辑演绎证明极限不可达，我都决不放弃极限可达性的应用。

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-15 13:54
标题: 事实胜于雄辩
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2023-12-15 05:58 编辑

变数性质的无穷数列An=数列∑1/2^i (i从1到n)=（2^n-1）/2^n 趋向于1，但永远达不到1。这个事实是形式逻辑推翻不了的。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-15 14:28
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-15 06:31 编辑

按芝诺二分法计算，一个人永远走不出一间屋子。然而每个学生每天都要走出一间屋子去上学，每个成年人每天都能走出一间屋子去谋生，每个老人每天都要走出一间屋去休闲……这些事实可否胜过一个人永远走不出一间屋子的雄辩？

作者: elim 时间: 2023-12-15 18:00

jzkyllcjl 发表于 2023-12-14 22:54
变数性质的无穷数列An=数列∑1/2^i (i从1到n)=（2^n-1）/2^n 趋向于1，但永远达不到1。这个事实是形式逻辑 ...

因为\(\small\displaystyle\sum_{n=1}^m\frac{1}{2^n}=1-2^{-m},\;\)所以由定义知\(\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=\lim_{m\to\infty}(1-2^{-m})=1\).
即对定数\(\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\)而言，不存在达不达到\(1\)的问题，它本身就是\(1\)．

不管吃狗屎的jzkyllcjl 咋样扯，也推翻不了上述数学论证．

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-15 19:31
本帖最后由金瑞生于 2023-12-15 19:34 编辑

门外汉发表于 2023-12-14 18:21
老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

同一个数学问题可以有多种不同的解法，但这些不同解法根本不会影响问题的答案。对于门外汉的蚂蚁问题，大家都知道：只要时间到了一分钟，蚂蚁一定到达终点！不管你采用何种解法这个答案都是不会改变的！但是门外汉采用了最笨的一种无法结束的分割方法，并将方法的没结束误判为蚂蚁没达到终点！这只能说明：门外汉的数学智商为零！的的确确是数学的门外汉！

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-16 08:28
现行教科书的实数理论有问题。例如“称无尽小数为实数的定义”，违背了无尽小数算不到底的不是定数的事实。

作者: elim 时间: 2023-12-16 08:42

jzkyllcjl 发表于 2023-12-15 17:28
现行教科书的实数理论有问题。例如“称无尽小数为实数的定义”，违背了无尽小数算不到底的不是定数的事实。

无尽小数当然算不到底，但它并不以人的计算为转移．所以是jzkyllcjl 的认知有问题。

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-16 08:55

elim 发表于 2023-12-16 00:42
无尽小数当然算不到底，但它并不以人的计算为转移．所以是jzkyllcjl 的认知有问题。

违背算不到底事实的实数定义有问题，例如对于圆周率的无尽小数表达式，造成了布劳威尔反例。

作者: elim 时间: 2023-12-16 08:55

jzkyllcjl 发表于 2023-12-15 17:28
现行教科书的实数理论有问题。例如“称无尽小数为实数的定义”，违背了无尽小数算不到底的不是定数的事实。

是 jzkyllcjl 认知有问题. 不是实数理论. 算不到底是人的认知有限性, 实数理论没有问题

作者: 门外汉 时间: 2023-12-16 12:56

金瑞生发表于 2023-12-15 11:31
同一个数学问题可以有多种不同的解法，但这些不同解法根本不会影响问题的答案。对于门外汉的蚂蚁问题， ...

你这只鹦鹉又能讲出什么道理？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-16 14:51
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-16 09:28 编辑

   范秀山先生在其《数学唯物论》P37页讲道：“柯西的定义，五年级小学生都能懂。魏尔斯特拉斯的定义，足以让发明了微积分的牛顿大呼饶命。”
   柯西的极限趋向说，真的【五年级小学生都能懂】吗？非也。应该说柯西极限趋向说，缺乏必要的数字界定。如抖音有老师用“充分靠垅”、“无限逼近”某一实数来描述极限。然而这个“靠拢”、“逼近”的程度又该如何界定？
   为弥补柯西极限定义在定量分析上的不足，魏尔斯特拉斯提出了ε—δ、ε—N定义。对于数列极限威尔斯特拉斯是如下定义的;
   【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).
      根据定义中ε的任意性，和\(N_ε\)的存在性以及当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(a_n-a｜\)<ε，数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n\)可表述为:
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
f(n)\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N \} &(1)\\a\quad\quad \;\;n∈\{n｜n>N_ε，n∈N \} &(2)
\end{cases}\).
   【命题:】若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).则当n→∞时，\(a_n=a\).该命题可简述为;若数列\(\{a_n\}\)的极限存在，则其极限可达。
   该命题极易证明，本帖不再赘述。

作者: 金瑞生 时间: 2023-12-16 15:12
本帖最后由金瑞生于 2023-12-16 15:16 编辑

门外汉发表于 2023-12-16 12:56
你这只鹦鹉又能讲出什么道理？

倒傻货，你不懂数理，数学智商为零，远离数学才是你的本命，否则一定死于非命。要研究数学，你唯有重新投胎！

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-16 15:31
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-16 07:58 编辑

      根亚里士多德关于芝诺二分法的论述:将一段时间无限二分，分出来的每一段时间用于走过对应的路程，就可以在限定时间内实现运动了。
      我们可把蚂蚁爬行的时间，和线段作同样的划分。
      这样我们就得到：\(\begin{cases}
\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{32}+……=1-\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{2^n}(分钟)&(1)\\\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{32}+……=1-\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{2^n}(米)&(2)
\end{cases}\)
      因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{2^n}=0\)，所以当n→∞时，\(\tfrac{1}{2^n}=0\)（极限可达）。
      所以\(\begin{cases}
\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{32}+……=1(分钟)&(1)\\\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{32}+……=1(米)&(2)
\end{cases}\)
      所以楼主的仿芝诺悖论不能推翻数学大厦！

作者: elim 时间: 2023-12-16 19:58
对\(a_n=\frac{1}{n}, \;\)有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\)但\(1/n\ne 0 (\forall n\in\mathbb{N}^+)\).
88楼的极限定义没错，但【徐氏达到】命题由上述反例是错误的．
除非将“当\(n\to\infty\)时”解读为“\(n=\infty\)时”，并定义\(a_{\infty}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.\)
另外88楼对给定的序列加以修改，也是不可接受的．

可以肯定，世界上所有80后的教课书不会有【徐氏达到】命题．

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-16 22:23
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-17 00:47 编辑

   【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).(参见同济大学《高等数学》第七版P20页)。
   以下各种版本:菲赫金哥尔茨《微积分学教程》人民教肓出版社P37页；吉林师大数学系编《数学分析讲义》人民教育出版社1960年第一版，1978年第2次印刷P27页；华东师大《数学分析》第四版，高等教育出版社 2014年5月版P23页。同济大学《高等数学》第七版，高等教育出版社2017年5月版P20页；以及先生64楼所给出的严格定义，均涉及到ε的任意性、\(N_ε\)的存在性以及当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(a_n-a｜\)<ε。极限定义的叙述大同小异。
   所以，根据各版本定义中ε的任意性，和\(N_ε\)的存在性以及当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(a_n-a｜\)<ε，数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n\)可表述为:
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
f(n)\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N \} &(1)\\a\quad\quad \;\;n∈\{n｜n>N_ε，n∈N \} &(2)
\end{cases}\)是正确的。
   至于先生所谓的反例数列\(\{a_n\}\)，其通项\(a_n\)可表述为:
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
\tfrac{1}{n}\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N \} &(1)\\0\quad n∈\{n｜n>N_ε，n∈N \} &(2)
\end{cases}\).先生认为该反例“反”在【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\)，但\(\tfrac{1}{n}≠0\)\((\forall n∈\mathbb{N}^+)\)】
   elim先生，您的这个【\(\tfrac{1}{n}≠0\)\((\forall n∈\mathbb{N}^+)\)】是通过对有限数n观察得出来的吧？曹俊云先生不正是根据这种观察得到他的“趋向但不等于”的趋向性极限理“论吗”？elim先生您不也认为“无限集与其真子集等势”和感性观察相悖吗？
   应该说徐利治先生是有资格编写教科书的。可惜他已驾鹤西去，如果他还健在，听到先生的这种质疑，世界上80后的教科书也许就会有【徐氏达到】命题的。

作者: elim 时间: 2023-12-17 05:00

春风晚霞发表于 2023-12-16 07:23
【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N ...

春风晚霞先生怎么把给定序列的通项公式都改了？
无论如何，【徐氏达到】肯定不是现行分析的一部分。它不会出现在80后的教科书里。

定理 \(\forall n\in\mathbb{N}^+\;(\frac{1}{n} > 0)\) 是实数域公理的简单推论。

jzkyllcjl, 青山认为部分和达不到其极限意味着无穷级数和也"达不到"部分和序列的极限，
他们的错误不在于部分和可以达到其极限，而在于他们不知道级数和就是部分和的极限。

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-17 07:57
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-17 00:24 编辑

elim 发表于 2023-12-16 21:00
春风晚霞先生怎么把给定序列的通项公式都改了？
无论如何，【徐氏达到】肯定不是现行分析的一部分。它 ...

elim先生；
   恕我不能受教。现申辩如下：
   不错【定理：\(\forall n∈\mathbb{N}^+\)\((\tfrac{1}{n}>0)\)是实数域公理的简单推论。】由于数集\(\mathbb{N}^+\)中每个能写出来的n都是有限数，当然也就有\(\tfrac{1}{n}>0\)了。然而您的那个不能具体写出∞呢？还有\(\tfrac{1}{∞}>0\)吗？
   elim先生认为春风晚霞【怎么把给定序列的通项公式都改了？】应该说春风晚霞并没有更改给定序列的通项公式。因为【徐氏达到】的前提是给定序列的极限存在！我们讨论给定序列的极限是在n趋向于无穷大这个条件下进行的。那么，什么是无穷大呢？菲赫金哥尔茨《微积分学教程》是这样定义的：
   【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大，记为∞（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》笫一卷，第一分册P45页）。
   所以在给定数列极限存在的前提下，把\(\{a_n\}\)的通项公式写成：
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
f(n)\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N \} &(1)\\a\quad\quad \;\;n∈\{n｜n>N_ε，n∈N \} &(2)
\end{cases}\)并未更改其通项表达式，只是把变量\(a_n\)趋向于无穷大数字化了而已！
   通过上述分析，【徐氏达到】肯定是现行分析的一部分。若徐氏健在，他一定会把【徐氏达到】写在80后的教科书里的。再者能写进80后教科书里就正确，没写进80后教科书就不正确？范秀山的自然数只有\(10^{90}\)个（参见范秀山《数学辩证法》P35页)，不也写进了郑州大学选修课（共16学时)教科书了吗？范氏的自然数只有\(10^{90}\)个正确吗？

作者: jzkyllcjl 时间: 2023-12-17 10:05
春风晚霞：第一，你说了菲赫全哥尔茨《微积分学教程》笫一卷，第一分册P45页的我无穷大量的定义，但在这个定菲赫全哥尔茨《微积分学教程》笫一卷，第一分册P45页义之后，菲赫全哥尔茨还有许多解释，第一，“引入无穷极线并不能破坏前一段……”即不能忘掉整序变量的“趋于a”的性质；第二，无穷大量与无穷小量都是变量。总之，你是断章取义的片面叙述。

作者: 门外汉 时间: 2023-12-17 10:38
老曹头和老E头结成同盟军反对老春头，老春头有点招架不住啊。
有趣的是：老E头怎么和老曹头唱一个调上了呢?

作者: elim 时间: 2023-12-17 11:47

春风晚霞发表于 2023-12-16 16:57
elim先生；
恕我不能受教。现申辩如下：
不错【定理：\(\forall n∈\mathbb{N}^+\)\((\ ...

春風晚霞先生，正整数都是有限数．根本不包括无穷大．

作者: elim 时间: 2023-12-17 12:00

门外汉发表于 2023-12-16 19:38
老曹头和老E头结成同盟军反对老春头，老春头有点招架不住啊。
有趣的是：老E头怎么和老曹头唱一个调上了呢 ...

jzkyllcjl 应该为得出【部分和达不到极限就是级数和达不到级数和的谬论】自刎了结——如果他还有廉耻的话．

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-17 12:10

jzkyllcjl 发表于 2023-12-17 02:05
春风晚霞：第一，你说了菲赫全哥尔茨《微积分学教程》笫一卷，第一分册P45页的我无穷大量的定义，但在这个 ...

曹老头：
   菲赫金哥尔茨《微积分学教程》是这样定义无穷大的：
   【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大，记为∞（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》笫一卷，第一分册P45页）。
      请先生明示春风晚霞在什么地方断章取义了？我查过菲氏的《数学分析原理》第一卷第一分册P59页无穷大的定义，并未发现我所引定义有什么“断章取义”之处！倒是请先生把【“引入无穷极线并不能破坏前一段……”即不能忘掉整序变量的“趋于a”的性质；】中省略的内容补全，让段读者对你所说【不能忘掉整序变量的“趋于a”的性质】有个粗略的了，以证明春风晚霞是否是【断章取义的片面叙述】？至于无穷大量是变量一事，春风晚霞所引定义的四五两字已声明了无穷大量是变量，先生该不会认为“无穷大量是变量”又是你的一个伟大发明吧？

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-17 12:12
本帖最后由春风晚霞于 2023-12-17 05:20 编辑

门外汉发表于 2023-12-17 02:38
老曹头和老E头结成同盟军反对老春头，老春头有点招架不住啊。
有趣的是：老E头怎么和老曹头唱一个调上了呢 ...

无所谓，elim先生永远也不会成为你的盟友！

作者: 春风晚霞 时间: 2023-12-17 13:19

elim 发表于 2023-12-17 03:47
春風晚霞先生，正整数都是有限数．根本不包括无穷大．

elim先生：
正因为【正整数都是有限数．根本不包括无穷大】，所以\(\tfrac{1}{n}≠0\)\((\forall n∈\mathbb{N}^+)\)也就根本不是【徐氏可达】的反例！

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