正弦如何定义

denglongshan

张景中院士是否太激进了？正弦如何定义最好？
选自https://weibo.com/ttarticle/p/show?id=2309404715108122099827
早在公元前2世纪，希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，将一个固定的圆内给定度数的圆弧所对的弦的长度，叫做这条弧的正弦．现在初中三年级课本上，把直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，叫做这个锐角的正弦，是16世纪形成的概念。但是，为了几何中的计算就常常用到钝角的正弦了，进一步的学习更需要任意角的正弦。因此到高中阶段，要引进18世纪大数学家欧拉所建立的三角函数的定义，把正弦与坐标系、单位圆以及任意角的终边联系起来。
按照两百年来形成的数学教学体系，正弦是一个层次较深的概念。即使仅仅提到锐角的正弦，就要先有相似形的知识。所以要到初中三年级才讲。
但是，初中一二年级的学生，从算术进入几何和代数，正是逻辑思维形成的关键时期。这时，向他们展示不同类型知识之间的联系以激发其思考非常重要。三角概念，首先是正弦概念，是形数结合的纽带，是几何与代数之间的桥梁。如果能够不失时机地在初中一年级引入正弦，使学生有机会把几何、代数、三角串通起来，进而体会近现代函数思想的威力，应当有很大好处.
由于“有一个角为α的边长为1的菱形的面积”正好等于α的正弦，而且不论锐角直角钝角都是成立的。信手拈来，就用它引进正弦，就无须到初三，初一甚至小学五、六年级都可以讲正弦了。进一步思考，如果引入任意角和带号面积，还可以在引入坐标前就定义任意角的正弦。不过这想法还没有做过教学实践.
这样引进的正弦，所联系的几何量不是两千年前引入的弦长，不是四百多年前引入的线段比，也不是两百多年前数学大师欧拉建议的任意角终边与单位圆交点的坐标，而是小学生非常熟悉的面积。
   这样定义正弦好像是离经叛道。但在客观上，在数学中是成立的。写在科普读物里，不但没错，还能够让读者开眼界，活思考，提兴趣，链知识，学方法。
     这样的正弦定义，比起目前初中三年级课本上的定义，至少有四个好处：更简单，更直观，更严谨(这里直角的正弦为1，因为它就是单位正方形的面积；课本上要用极限来解释)，更一般(这里的定义覆盖了锐角、直角、钝角和平角的情形；课本上只包括锐角)。

Nicolas2050

你没学术地位没权力，就不要指手画脚。因为你没资格，教科书是统治阶级意志的体现。

波斯猫猫

从教材来说，锐角三角函数和任意角的三角函数建立的方法及理论都是科学的，严谨的，适合学生年龄特点的。

denglongshan

为什么锐角正弦定义成正值？