三次多项式 f(x) 拐点为(u,v)，证明：f(u-t)+f(u+t)=2f(u)，∫(u-t,u+t)f(x)dx=2tf(u)

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請問數學

luyuanhong

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請問陸老師

luyuanhong

首先，(1,2),(5,8),(9,11) 中间的一点 (5,8) 并不是拐点（反曲点），你需要另外去求拐点，这不是一件很容易的事情。

即使你求出了拐点（反曲点），(1,2)  与  (9,11)  也不是关于拐点互相对称的两点。

你上面写出的积分公式，只有当左右两点关于拐点互相对称时才成立。

(1,2) , (9,11) 不是关于拐点对称的两点，所以这个公式是不能用的。

wintex

luyuanhong 发表于 2023-12-16 18:53
首先，(1,2),(5,8),(9,11) 中间的一点 (5,8) 并不是拐点（反曲点），你需要另外去求拐点，这不是一件很容易 ...

如果a改成某點a=5，由積分均值定理，成立嗎？還有陸老師，1f得到結論，可由積分均值定理可得嗎？
所求f(5)x(9-1)=64,但答案不是60？

luyuanhong

积分中值定理说的是：在 (a,b) 中可以找到一点  ξ ，使得 ∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a) 。

ξ 一般来说并不是 (a,b) 的中点，如果用中点 (a+b)/2 代替  ξ ，则  ∫(a,b)f(x)dx≠f((a+b)/2)(b-a) 。

从第 3 楼中的题目也可以看到，正确答案是 ∫(1,9)f(x)dx=60 ，而 f(5)×(9-1)=64≠60 ，可见这样求积分是不对的。