是否存在正实数 a 和 b 满足 √119a+√17b≤2ab ，且 a^2+b^2≤2√2023 ？

波斯猫猫

题：是否存在正实数a和b满足√119a+√17b≤2ab，且a^2+b^2≤2√2023。

思路：由条件有(2a-√17)(2b-√119)≥√2023≥(a^2+b^2)/2，其中2a＞√17，2b＞√119。

令2a-√17=x，2b-√119=y，则xy≥√2023≥[(x+√17)^2+(y+√119)^2]/8。

考虑双曲线xy=√2023在第一象限上任意一点(x=√119t，y=√17/t)与圆

(x+√17)^2+(y+√119)^2=8√2023的圆心的距离d(必有最小值)，有

d^2=(√119t+√17)^2+(√17/t+√119)^2，令其导数为零，解得(t＞0)

唯一正实数解t=7^(-1/6)。代之有d^2min=17[49^(1/6)+1]^3，

经检验有17[49^(1/6)+1]^3＞8√2023。即双曲线xy=√2023在第一象限

的部分与圆相离，亦即不存在正实数满足xy≥√2023≥[(x+√17)^2+(y+√119)^2]/8。

从而，不存在正实数a和b满足√119a+√17b≤2ab，且a^2+b^2≤2√2023。