求 2022^111 的末两位数

wintex

求 2022^111 的末两位数

波斯猫猫

求 2022^111 的末两位数。
因2022^111=(2020+2)^111=...+111x55x2020^2x2^109+111x2020x2^110+2^111，
故其末两位数是111x2020x2^110+2^111的末两位数。
易验证2^22的末两位数是04，故2^111的末两位数是2x4^5=...48。
从而的末两位数是111x2020x2^110+2^111=...80+...48的末两位数，即28。

luyuanhong

lihp2020

为啥 没有利用 欧拉定理 首先 \( \varphi \left( 100\right)=40\)
\(22^{111}\equiv 22^{31}\)

波斯猫猫

只需算末两位数，
2022^111=(2022^6)^18x2022^3=(...04)^18x(...48)
=[(...04)^9]^2x(...48)=(...44)^2x(...48)=(...36)x(...48)=...28.

ysr

2022^111=有367位，用时0.109375秒8743952491627539025400059296548134932636082550102420990283450649480008662458598646410336146032826254644032735095507104774082841398194308580238789041006248221372419300012794369484670772420900841969521335487709436796041501457071343820336639986806198048931467729259743498761952687745673182496674467981653094860796470883215042633131027045515684576968273833640515577315328

波斯猫猫

111lg2022=111x3.3057≈366.966.

时空伴随者

利用11的二项式展开
\(2022^{111}≡22^{111}≡11^{111}×2^{111}≡11×512^{12}×2^3\\≡11×12^{12}×2^3≡11×44^{6}×2^3≡11^7×4^6×2^3\\≡71×2^{15}≡71×32768≡71×68≡4828≡28\ mod\ 100\)

luyuanhong