\(\Large\color{blue}{关于极限可达问题的讨论}\)

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-11 03:45
先生帖子的第一行就是错误的。令\(\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k}=1-\frac{1}{10^n},\) ...

elim先生，难道证明\(0.\dot 9=1\)就只有数列前n项和取极限一法吗？下面再次介绍几个不取极限证明\(0.\dot 9=1\)的方法:
①反证法:假设\(0.\dot 9<1\)，则存在纯小数c，使得\(0.\dot 9<c<1\)成立。于是根据逐位比较法，C中必存在某个数位上的数字大于9，这与9是从0到9这十个数字中的最大数矛盾，故c不存在，所以\(0.\dot 9<1\)的假设不成立。所以设\(0.\dot 9=1\).(此法只用了小学生熟知逐位比较法，难道先生看不懂）
②设x=\(0.\dot 9\)，则10x=9+x，解这方程得x=1，即\(0.\dot 9=1\)(此法是小学八年级(原制初一）讲化循环小数为分数的有效方法，难道你看不懂？)
③、利用您批曹氏时认可的\(\tfrac{1}{3}=0.333……\)，等式两端同乘以3得\(0.\dot 9=1\)（此法为在您亲历亲为的等式两端同乘以3，难先生也看不懂)
④根据康托尔实数定义可证得\(0.\dot 9=1\)；
并且各种师范大学《数学分析》都把\(0.\dot 9=1\)作为开篇之首，并且以极限为基础的各种方法都是在\(0.\dot 9=1\)的基础上建立起来的。所以，您用无穷级数理论证明\(0.\dot 9=1\)，本身就是循环论证。更何况您证得的还是\(0.\dot 9<1\)，先生您认为你的证明对吗？
先生您一句轻飘飘地“先生的证明第1行就是错的”，“您的证明我看不懂”害得我好苦啊，因为您的名气太大，谁认为您错了，谁就得挨骂。看来我这半个多月所挨之骂，全拜先生所赐哟（不必介意，也有玩笑的成分)！

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-10 14:43
elim先生，难道证明\(0.\dot 9=1\)就只有数列前n项和取极限一法吗？下面再次介绍几个不取极限证明\(0.\ ...

当然有不少办法，但是死磕 1/10^k = 0 肯定不是办法。

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-11 07:12
当然有不少办法，但是死磕 1/10^k = 0 肯定不是办法。

不死磕(k→∞时) 1/10^k = 0 就得承认那些不用极限证得的\(0.\
\dot 9=1\)是错误的；不死磕(k→∞时) 1/10^k = 0 就得承认《数学分析》开篇基础是错误的！不死磕(k→∞时) 1/10^k = 0 就得承认威尔斯特拉斯极限定义是错误的；不死磕(k→∞时) 1/10^k = 0 就得承认我在造你的谣；不死磕(k→∞时) 1/10^k = 0 就得承认我挨骂活该！凡此种种我能不死磕(k→∞时) 1/10^k = 0 吗？至此无他人招惹我，我就开始潜水了。再见！

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-10 16:46
不死磕 1/10^k = 0 就得承认那些不用极限证得的\(0.\
\dot 9=1\)是错误的；不死磕 1/10^k = 0 就得承 ...

我已在标准分析的框架下证明了 \(0.\dot 9=1\) 以及 \(\frac{1}{10^k}> 0\;(\forall k\in\mathbb{N}^+)\).
我们多说也无益。就此打住。

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-11 08:12
我已在标准分析的框架下证明了 \(0.\dot 9=1\) 以及 \(\frac{1}{10^k}> 0\;(\forall k\in\mathbb{N}^+)\) ...

       今日路过门外汉的主题，无意间看到elim先生与门外汉先生的一段对话【现在至少有三种可达：序列的可达，极限的可达，动点的可达。它们不是一个意思，犯糊涂的人至少有芝诺，门外汉，青山，jzkyllcjl，春风先生等。】春风晚霞认为elim先生的这段话有两处值得商榷：
       ①、elim先生所说的【序列的可达，极限的可达，动点的可达】，从数学模型看都属于\(\displaystyle\lim_{u \to \infty}\tfrac{1}{u}=0\)，其中芝诺问题中\(u=2^n\)，青山问题中\(u=10^n\). 可达与否应根据(u→∞)时，\(\tfrac{1}{u}\)是否等于0划分. 如果我们把\(\displaystyle\lim_{u \to \infty}\tfrac{1}{u}=0\iff\)\((u→∞)时，\tfrac{1}{u}=0\)称作可达，那么\(\displaystyle\lim_{u \to \infty}\tfrac{1}{u}=0\iff\)\((u→∞)时，\tfrac{1}{u}≠0\)就叫作不可达.
       ②、根据①的分划， 很明显芝诺、青山、门外汉、jzkyllcjl、elim先生同属不可达认识范畴，而春风晚霞则属于可达范畴.所以犯糊涂的人除【芝诺，门外汉，青山，jzkyllcjl、春风先生】外，还应包括elim先生您自己。
      elim先生虽然在【标准分析的框架证明了】\(0.\dot 9=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^n\tfrac{1}{10^k} \)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)(1-\(\tfrac{1}{10^n}\))=1，但您又不承认（n→∞）时，\(\tfrac{1}{10^n}=0\)，所以，您证得的结果依然是\(0.\dot 9<1\).
       关于(n→∞)时，存在无穷多个n∈N，使得\(\tfrac{1}{10^n}=0\)可参见附图。

elim

先生认为证明\(0.\dot 9=1\) 非要用到春风可达．我不以为然．我用标准分析证明了
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}=0\)并且\(\frac{1}{10^n}>0\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\)我没法否认这些结果，还据此证明了
\(0.\dot 9=1.\) 所以看来我们之间没有商榷的空间．不过既然先生也称\(0.\dot 9=1,\) 可以就此打住了．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-12 23:43
先生认为证明\(0.\dot 9=1\) 非要用到春风可达．我不以为然．我用标准分析证明了
\(\displaystyle\lim_{n\ ...

先生只是证明了\(\tfrac{1}{10^k}>0\)(\(\forall k∈\mathbb{N}^+，k\nrightarrow ∞\))的情形，就不允许他人认同\(\tfrac{1}{10^k}=0\)(\(\forall k∈\mathbb{N}^+且k→∞\))的情形。故先生证明的只是\(0.\dot 9\)的极限是1，并末证明\(0.\dot 9\)本身就是1. 先生对\(0.\dot 9=1\)的证明实质上与青山证明\(0.\dot 9<1\)是一致的. 只要先生不继续再批判春氏可达，我过去蒙冤也就算了，就此打住当然也是可以的.

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-12 14:37
先生只是证明了\(\tfrac{1}{10^k}>0\)(\(\forall k∈\mathbb{N}^+，k\nrightarrow ∞\))的情形，就不允 ...

春风先生不致于与jzkyllcjl 联手篡改无穷小数及级数的定义吧？
\(0.\dot 9=0.9+0.09+\cdots=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\) 是定数而不是序列．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-13 07:33
春风先生不致于与jzkyllcjl 联手篡改无穷小数及级数的定义吧？
\(0.\dot 9=0.9+0.09+\cdots=\displays ...

言重了，elim先生。春风晚霞与jzkyllcjl虽为庚友，但也不至于与其联手篡改无穷小数及级数的定义！先生应当明白\(0.\dot 9=1\)是有理数的性质(无限循环小数可化为分数)的直接应用，根本就不是什么定义。我与曹氏在学术上处于两个极端，根本就没有联手的可能。我并不反对先生\(0.\dot 9\)=0.9+0.09+0.009+……\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-10^{-n})=1-\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^{-n}=1\)是定数而不是序列的说法，但我坚决反对当\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^{n}=0\)时，(n→∞)时\(10^{-n}≠0\)的提法.因为不反对这种提法， 就得承认那些不用极限证得的\(0.\dot 9=1\)是错误的；不反对这种提法，就得承认《数学分析》开篇基础是错误的！不反对这种提法， 就得承认威尔斯特拉斯极限定义是错误的；不反对这种提法，就得承认105楼所帖曲线的走势是错误的；不反对这种提法，就得承认您只证明了\(\tfrac{1}{10^k}>0\)(\(\forall k∈\mathbb{N}^+，k\nrightarrow ∞\))就断言\(\tfrac{1}{10^k}=0\)(\(\forall k∈\mathbb{N}^+且k→∞\))是错误的学阀思想；不反对这种提法，就得承认我反对青山用不完归纳法证明\(0.\dot 9<1\)是错误的。其实我根据柯西的极限趋向说也在标准分析框架严格证明了当n→∞时，存在无穷多个n∈N，使得\(\tfrac{1}{n}=0\). 只可惜这些证明您们看都不看，就给我戴上一顶“党八股”的桂冠。您说我能不坚决反对这种害人不浅的东西吗？

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-12 20:48
言重了，elim先生。春风晚霞与jzkyllcjl虽为庚友，但也不至于与其联手篡改无穷小数及级数的定义！先生应 ...

春风先生, \(0.\dot 9=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\)
的哪个等号不成立，或者需要 \(\frac{9}{10^k}=0\) 这种胡扯？

只要先生不把 \(0.\dot 9\) 当序列而是拿它当级数和看待，就不会得出 \(0.\dot 9< 1\) 这种谬论。