【数学应知道】献给 2024 年的数学问题

luyuanhong

【数学应知道】献给 2024 年的数学问题

翻译 | 蒋迅

来源 | 遇见数（ID：meetmath）

日历即将再次改变，又一个充满可能性的一年就在我们面前。在这一年里你可能会做很多事情，但请求你不要试图求 2024 所有奇数正因子的总和。它是两个罗！

有很多有趣的问题都涉及数字 。请享受！

● “乘法日”是指月和日的乘积等于（两位数）年份的日期。例如，8 月 3 日是一个乘法日，因为 8 × 3 = 24 。2024 年有多少个乘法日？

● 做出一个周长为 2024 个单位、面积为 2024 个平方单位的多边形。

● 2024 的各位数字之和为 2 + 0 + 2 + 4 = 8 ，8 是 2024 的因数。2020 到 2029 之间有多少个数字，各位数字之和是该数字的因数？

● 数字 2024 是一个伊班数字，因为数字“two-thousand twenty-four”的英文名称中从来不包含字母 i 。（它与银行术语 IBAN 无关，IBAN 代表“国际银行帐号”。它也仅适用于数字的标准英文名称，不适用于 googol 或 Kaprekar 常数等特殊名称。） 最大的 iban 数字是多少？

● 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2024 的总和是多少？

● 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2024 的总和是多少？

● 13 + 26 + 39 + … + 2024 的总和是多少？

● 你需要多长时间才能数到 2024 ？

● 仅使用常见的数学符号和运算以及数字 2、0、2 和 4 ，创建一个恰好等于 100 的表达式。（附加题：按顺序使用这四个数字创建一个表达式。）

● 由数字 2、0、2、4  组成的所有可能的四位数字均按升序排列。这些数字的中位数是多少？

● 什么分数相当于 0.2024 ？

● 2024 有多少个正整数因数？

● 创建一个 4×4 幻方，其中每行、每列和对角线的总和为 2024 。

● 2024^2024 的个位数是什么？

● 一个矩形盒子的每个尺寸都是整数英寸。盒子的体积为 2024 in^3 。盒子的最小可能表面积是多少？

● 总和为 2024 的一组正整数的最大可能乘积是多少？

● 多项式 p 具有非负整数系数，并满足 p(1)=8 ，p(-1)=0 以及 p(3/2)=13.75 。p(10) 等于什么？

● 令 S(n) 表示整数 n 的数字之和。例如，S(123)=6 。找到一个数字 n ，使得 n + S(n) + S(S(n)) + S(S(S(n))) = 2024 。

特别感谢 Harold Reiter 教授提供了列表中的最后两个问题。

原文:

Math Problems for 2024（ mathjokes4mathyfolks.wordpress.com/2023/12/13/math-problems-for-2024/ ）

参考文献:

● Gross (unit)，en.wikipedia.org/wiki/Gross_(unit)

● 罗(单位)，zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%B1%AE_(%E5%96%AE%E4%BD%8D)

● What Is an International Bank Account Number (IBAN) and How Does It Work，investopedia.com/terms/i/iban.asp

好玩的数学 2023-12-31 08:34 发表于江西

ysr

2024^2024 的个位数是什么？
2024^2024 =有6692位，用时9.570313E-02秒58893658205346873321009405114252511112563103219811510436642699899022079925120492423178185465877120601208202802768922587297686749309291878034825036451477086463337699121684668399956892557111230730139375094368285645472374707076445446306355835647383882487900048820183439416566695390415620572563960806487750017982892401285739175312788846677914330033042131446176949029470519676159830018570811900675890810815684717912736140933688113458193544824439644387338800918608414945825538557059034544612619335738493057198410896280293371102119117970635178948812834389990877543163689008938739316922474747803593800440289156544129443440057249938507235822640110207480987711687426922720644413942987237834037218779432509900911212633955430200484318350513906349682175752857915608082177446727540652711487582840118250775976723174795275361949673940917343249670525253883110181470653515596976218387342920435423070935132035283529523716425781361887600072517181323368106871552542839529210857878633812565241350911109863358372586600062459039657834236264306090815947298845522698489803309693223197383814610071657917388406345600204750963744642039700326265031477215444241896335816892690933169441250083542384330240187627081236126850894018942340971958368401823867018897639927312157004280305861908984196407887202473625990874835493181312366404122092619526170687530902994499754113985033009166977084570578273529141737906243414290919796214758660974580649606600081225390352985766379513096714778196088288745551770815765895261567900098063369679078295408096126033201361898594885471624842037313124873959768519618225940996518332218167224661241424036706132825876723802637069869099564142367739233666418653385082459326717517378116395626748998012051527705480851183782935501721047801563439716059679351703061971302033474918724293092620818801371935556857354034955605262801582821379068664461740626691267039419683929959991003323665647765981237499764864991000543399785870889294684897853156798921324471448613674402013753172345239929273338615305316137921585604721710644801013787305186272066718383434586004943541579776163087942202112988712119683530617401173472969205496448563263457157505283550509525711274266345641591003291396941998868545239475931598984013318399820608188541065176166317251828011283991630067536839600210985913120076312371396447339764832103578210369738705908019452684637432972363092916728084568536928132228878801347429075228511445770239763760587114241638318159853492435527657241908336041449197452888050909848677526117884917466526187066425603713024853418400050373098373331375974530459431400981483405814342940880330210388630327120395602913588325294744611159955491498481912939545528589620004099163328825607610343939352549569284645079443880717380912647008863449729769557683114381447582855177163801192679967678588877217273993501625377567603674320348996819518809984996748281954335728376655398218799081809008441784208877755111265310079780748804401780888855493628904308635992801728752604367403554490446812045948364669598130713657429724350425613587517965645179337980200994248480615389331823215976813108642906452147868715576881195381240626355494283619430426086914237582377428640246698005565387327735856625290201444275739024822488181907196626248014134759450746337582740176806235507468807784459523002094899811387495804961596751448048004148211622520016489831740969531744646390676210180019181839314024115423556231863152885877160382397204618782471132014337043198647014547963269456816582290194966173167127560281503562487182050971756097122848874827767984460796152820454466571071610318815414071130999098806097033277195784184886111431460013435754801599017640689413527587643851392064735416477218296491134881497493597036869214443457290158376796634105919145554241770884750784157756239368461790616083686318829009705345216543329524892216102115167562991477725692603790243250670215576538886746096214085055538862585720946435156584054071402302338915346211005573805166932059023814921035846552473488263615390687852724553080830662393162526465788666516303134814890968350781961311013877194150682421300628738227953781187140527577978339917335670050624707968306362904678968345885438733078932903221462736707754927812557658644747538949344672162537962157544345042137101713037047095427224412836047071197819708265606088697115113146461190910753196473939805989619758734648150021419384828417608336054745068388166402882381722089659004407425526811261653557779696638476690177704030595214150712061333089182131941986059780437603175259356377201099453006764401034164908400498216510173673349426143717069695882265517284012658457825560997127220981034890136705481277744825439510250123449886713765477023958858421175017175256548653722907419978542077368202580406920943274933058451077734601073373591670305498099113815155361640621910109125462256208521654985798051326029403064985182182136447638492984828578872360199802271379393537007285384390620505673317188187158468038873966835458509049208941933665144958643333359307354594301047688669068282408748370076316916784229235098422771082033896693070752034471309936079470551396766174477456130530539580445043373028442728456209646393385906096617809436000878615501443522687453545735892827120730506230961591623154772352386176860077473598410518820419851932334225963135111988923655250161392674821518329413363794109725724658859379273053328292566626897069795304652845568002977846078101083177341921894385673370681089715213368943992733026074586705339093191747073541805926261590182136421362209260091698944497369296915550360051957133844308978980672065838378113078231440323227532381200440485634841087201952488780075875389133070646956077015509191139210817618531202286001806124954537711979455919305814659746923537093593024374185115243785222631921177026844567108576203065018741288954864990611368421359923930920139702986927725273441357117836922253210489299238696624272637009861655935655054206560586545791838888475375424210075793146082440070679870146058259715999008893056281785209124812496206833379837736312080633535422858847173059630318381924063122930225999538037854654728460779780745026175400868241329767631353946688251038825483077464504579231820422771136890668193872116249363395752703942985040549831113728104675102988244396243879742864721428561858265980061161838006401683381397595447168776649436263119933253612999921745935694729827889553548171349905527413218072302590564847337228054133917797411784438328927444058905984290197737341406825919912070992908714489035760687837474226148402942962715916545659486587540289128548420854102814257184369081941531463022242851999591047523330306090151590086708172363482579075229070664704027640186427671157856253751366486986039144775895802420984360791594276210511368800700852972304806389330369050212284657673675616562077375129300334045211211595776

个位数是6

ysr

2024
2024*2024=4096576
4096576*2024=8,291,469,824
…………

Treenewbee

先挑一个简单的做一下：

● 总和为 2024 的一组正整数的最大可能乘积是多少？
----------------------------------
对于任意和为s>4的数字，由于2s-4>s,即 2(s-2)>s,即所有的因子都应小于4
1*(s-1)<s,故所有的因子都应大于1
最大可能乘积是\[2^x3^y\]的形式。
又2*2*2<3*3，即每3个2可用2个3替换成更大的值，故x<3
易知最大可能乘积为\[4*3^{674}=15197973131320957753968897930766763638266477891419885429560878425343601547805334728504794298313940748820052449522691849297185531273885587035470845003956032947440073341779573189396483119772850299639281489717757402077200926236361520969891376675987125314299782903394174852023499267869742460749124330555444029628438690861847076\]

Treenewbee

由数字 2、0、2、4  组成的所有可能的四位数字均按升序排列。这些数字的中位数是多少？
----------------
目测2402

luyuanhong

题  求 2024^2024 的个位数。

解  因为

                      4^3 = 64 ≡ 4 (mod 10) ，

                     4^5 = 1024 ≡ 4 (mod 10) ，

                 4^25 ≡ (4^5)^5 ≡ 4^5 ≡ 4 (mod 10) ,

                4^125 ≡ (4^25)^5 ≡ 4^5 ≡ 4 (mod 10) 。

    所以

    2024^2024 ≡ 4^2024 ≡ (4^125)^16×(4^3)^8 ≡ 4^16×4^8 ≡ 4^24

       ≡(4^3)^8 ≡ 4^8 ≡ 4^5×4^3 ≡ 4×4 ≡ 16 ≡ 6 (mod 10) 。

    可见，2024^2024 的个位数是 6 。