a,b,c∈N，已知 (√3a+b)／(√3b+c)∈Q，求证：(a^2+b^2+c^2)／(a+b+c)∈Z

fogking

有什么“聪明”的方法来证明这一点吗？

波斯猫猫

题：若a，b，c∈N+，且(√3a+b)/(√3b+c)∈Q，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)∈N+。

思路：设(√3a+b)/(√3b+c)=q/p(p与q互素)，则√3(pa-qb)=qc-pb，即pa-qb=qc-pb=0.

解得a=qb/p，c=pb/q.因a，b，c∈N+，且p与q互素，

故b=pqr(r∈N+)，a=rq^2，c=rp^2.

从而，(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=r(p^4+q^4+p^2q^2)/(p^2+q^2+pq)

=r(p^2+q^2-pq)∈N+。

波斯猫猫

题：若a，b，c∈N，且(√3a+b)/(√3b+c)∈Q，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)∈Z。

思路：显然，a，b，c不能都为0，至多两个为0。

若a=b=0，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=c∈Z。

若a=c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=1/√3不是有理数。

若b=c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)无意义。

若a=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=b/(√3b+c)，即b=0。

若b=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=√3a/c，即a=0。

若c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=(√3a+b)/(√3b)不是有理数。

当abc≠0，即a，b，c∈N+时，

设(√3a+b)/(√3b+c)=q/p(p与q互素)，则√3(pa-qb)=qc-pb，即pa-qb=qc-pb=0.

解得a=qb/p，c=pb/q.因a，b，c∈N+，且p与q互素，

故b=pqr(r∈N+)，a=rq^2，c=rp^2.

从而，(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=r(p^4+q^4+p^2q^2)/(p^2+q^2+pq)

=r(p^2+q^2-pq)∈Z。

fogking

谢谢！我想知道是否有一种方法可以利用共轭无理数的性质聪明的证明这一点。你觉得怎么样？

波斯猫猫

题：若a，b，c∈N，且(√3a+b)/(√3b+c)∈Q，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)∈Z。

思路：显然，a，b，c不能都为0，至多两个为0。

若a=b=0，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=c∈Z。

若a=c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=1/√3不是有理数。

若b=c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)无意义。

若a=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=b/(√3b+c)，即b=0。

若b=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=√3a/c，即a=0。

若c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=(√3a+b)/(√3b)不是有理数。

当abc≠0，即a，b，c∈N+时，

因(√3a+b)/(√3b+c)=(√3a+b)(√3b-c)/(3b^2-c^2)=[3ab-bc+√3(b^2-ac)]/(3b^2-c^2)∈Q，

故b^2-ac=0. 从而，(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=(a^2+ac+c^2)/(a+√(ac)+c)

=(a-b+c)∈Z。

波斯猫猫

题：若a，b，c∈N，且(√3a+b)/(√3b+c)∈Q，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)∈Z。

思路：显然，a，b，c不能都为0，至多两个为0。

若a=b=0，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=c∈Z。

若a=c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=1/√3不是有理数。

若b=c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)无意义。

若a=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=b/(√3b+c)，即b=0。

若b=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=√3a/c，即a=0。

若c=0，则(√3a+b)/(√3b+c)=(√3a+b)/(√3b)不是有理数。

当abc≠0，即a，b，c∈N+时，

设(√3a+b)/(√3b+c)=q/p(p，q互素)，则√3(pa-qb)=qc-pb，即pa-qb=qc-pb=0，或b^2=ac.

故，a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=(a+c)^2-b^2=(a+b+c)(a-b+c)，

即(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=(a-b+c)∈Z。

注：利用共轭无理数的性质并不聪明一点。

fogking

波斯猫猫 发表于 2024-1-6 09:25
题：若a，b，c∈N，且(√3a+b)/(√3b+c)∈Q，则(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)∈Z。

思路：显然，a，b，c不能都 ...

谢谢！