又发现一个结论

zyhlcj

ΔABC 中 D∈BC，E∈CA，F∈AB，AD,BE,CF 交于 G，AD,EF 交于 H，证明：AH／AD＝HG／GD
求证一道几何题，如图：

kanyikan

张景中有一个精妙的面积证法，相当漂亮。

zyhlcj

kanyikan 发表于 2024-1-10 13:15
张景中有一个精妙的面积证法，相当漂亮。

我已经证出来了，证明如下：
证明：直线BDC与ΔAFG用梅涅劳斯定理得\(\frac{FB}{BA}\cdot\frac{AD}{DG}\cdot\frac{GC}{CF}＝1\)
点E与ΔAFG用塞瓦定理得\(\frac{AH}{HG}\cdot\frac{GC}{CF}\cdot\frac{FB}{BA}＝1\)
比较这两式得\(\frac{AD}{DG}＝\frac{AH}{HG}\)
得证。
能否介绍一下你所说的面积证法。

luyuanhong

楼上 zyhlcj 的帖子很好！已收藏。

zyhlcj

luyuanhong 发表于 2024-1-12 09:10
楼上 zyhlcj 的帖子很好！已收藏。

过奖，这是我在发现了一个蝴蝶定理的另一类扩展时，在证明这类蝴蝶定理扩展定理过程中发现了这个结论。

zyhlcj

一楼图中还发现了一个结论：\(\frac{1}{GH}-\frac{1}{GD}＝\frac{2}{GA}\)
证明：\(\because AD＝AH+GH+GD\)
\(\therefore GH\cdot AD＝GH\cdot AH+GH^2+GH\cdot GD\)
\(\because\frac{AH}{AD}＝\frac{GH}{GD}\)
\(\therefore GH\cdot AD＝GD\cdot AH\)
\(\therefore GD\cdot AH＝GH\cdot AH+GH^2+GH\cdot GD\)
\(\therefore2GD\cdot AH＝GH\cdot AH+GH^2+GH\cdot GD+GD\cdot AH＝\left( GH+AH\right)\cdot\left( GH+GD\right)＝AG\cdot HD\)
\(\therefore\frac{HD}{AH}＝\frac{2GD}{AG}\)
\(\because HD＝AD-AH\)
\(\therefore\frac{AD-AH}{AH}＝\frac{2GD}{AG}\)
\(\therefore\frac{AD}{AH}-1＝\frac{2GD}{AG}\)
\(\because\frac{AD}{AH}＝\frac{GD}{GH}\)
\(\therefore\frac{GD}{GH}-1＝\frac{2GD}{AG}\)
两边同除以GD有：\(\frac{1}{GH}-\frac{1}{GD}＝\frac{2}{AG}\)
证毕。

denglongshan

把\(AH=AG-GH{,}AD=AG+GD\)代入\(\frac{AH}{AD}=\frac{GH}{GD}\)求GA即得。

denglongshan

kanyikan 发表于 2024-1-10 13:15
张景中有一个精妙的面积证法，相当漂亮。

期待面积法介绍。
长度的倒数是什么？图片中向量的倒数有什么意义？

denglongshan

https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18787&highlight=Ceva
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18005&highlight=%B3%F5%D6%D0

zyhlcj

denglongshan 发表于 2024-1-15 20:11
把\(AH=AG-GH{,}AD=AG+GD\)代入\(\frac{AH}{AD}=\frac{GH}{GD}\)求GA即得。

把\(HG＝AG-AH、GD＝AD-AG代入\frac{AH}{AD}＝\frac{HG}{GD}，得到以下结论：\)
\(\frac{1}{AH}+\frac{1}{AD}＝\frac{2}{AG}\)