对正整数$a,b$及素数 $p$, 有 $p\mid ab\implies (p\mid a)\vee(p\mid b)$

elim

引理： 记 $d=\min E\,(E=\{d =ua+vb: u,v\in\mathbb{Z}, d > 0\}),$
$\qquad\;\gcd(a,b)$ 为 $a,b$的最大公约数, 则 $\gcd(a,b)=d$.
证： 取$u_0,v_0\in\mathbb{Z}$使$d=u_0a+v_0b$. 易见 $\gcd(a,b)\mid d$
$\quad$作带余除法 $a=qd+r\,(0\le r< d).$ 若 $r=(1-qu_0)a-qv_0b>0$,
$\quad$则 $d>r\in E$,与 $d$ 的最小性矛盾, 故 $d\mid a$. 同理 $d\mid b$.
$\quad$可见$d\le\gcd(a,b)\mid d.\quad\square$

题： 对正整数$a,b$及素数 $p$, 有 $p\mid ab\implies (p\mid a)\vee(p\mid b)$
证： 不妨设 $p\not\mid a$. 则因 $p$是素数, 有$u,v\in\mathbb{Z}$使$up+va=1$
$\quad$ 于是 $p\mid ubp+v(ab)=b.\quad\square$

elim

跟各位打擂台，看看楼上命题最简洁严谨的论证是什么样子的。

elim

这个主贴介绍了初等数论中可以说是最基础的一点内容以及证明。摆到这个版块已经显得莫测高深？可见这个版块的平均程度真的够差。以致于让刘功勤这种文盲有了首席科学家的感觉。最近这阵子版块争吵互怼热度提升，但争论内容水平也在上升，反而让首席白痴看到了自己的弄斧选错了地方，嘿嘿，真没想到。

版块平均水准，没有管理员的把关，就要靠网友自己了。在乎这个版块的网友自己要追求精进，大家一起提升帖子水平，争取形成好的版块文化和风气。你说呢？

elim

我认为一个人如果不厌恶繁琐啰嗦，就学不好数学。