AB,CD 与 ⊙O 相切于 B,D 两点，AD 与 BC 的交点在 ⊙O 的圆周上，AB=8，CD=5，求 AC

denglongshan

Ysu2008

三角函数超越方程组，计算机抬出来给它安排上。

denglongshan

高手的解答

tmduser

这个题目可以换一个方式来表达更具一般性:

uk702

转自 tieba.baidu.com/p/8865604651

如图，过 D、E 分别作 BC 的平行线交CE、BD于G、F，
易知 DGCB、FECB 均是等腰梯形，
∠FEB=∠EBC=∠ECA（EC是切线）=∠GCA
故有 △EFB∽△CGD
∴EF/BF=CG/DG
∴EF×DG=BF×CG=CE×BD

而

\begin{align}

DE^2 & =DF^2 + EF^2 - 2 × EF × DF  × cos∠DFE  \\
            & = DF^2 + EF×(EF - 2 DF × cos ∠DFE)  \\
            & = DF^2 + EF×DG  \\
            & = (BD-CE)^2 + BD × CE  \\
           & = BD^2 - BD×CE  + CE^2  \\
           & = BD^2 + CE^2 - 2 BD × CE × cos60°


\end{align}

（也可由托勒密定理直接得出 DE^2= DF^2 + EF×DG ）

∴ BD、DE、CE 构成夹角 60° 的三角形。

creasson

creasson

也可以显式地解出方程，得到各点的有理参数化表示

creasson

若再转化为单位复数的表示，则形式上简单一点（其中z是单位复数）：