引起来的矩阵拆分与耦合

白新岭 · 发表于 2024-1-17 19:41

以往的数学对线性方程的具体解研究的比较透彻，详细，也形成了行列式，群论等多种理论体系，而对于研究线性不定方程满足条件的解组数问题甚少，这里强调只研究解组数的多少，不研究具体解。
比方x+y=100中，如果x，y均不是5的倍数，则二元一次不定方程有多少组满足条件的解，非具体解，要有多少组，不问具体解。
好了，这个问题留在以后解答，现在我们研究x+y=15时有多少组解，利用直接统计法：
非5倍 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14
1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 14 15
2 3 4 5 6 8 9 10 11 13 14 15 16
3 4 5 6 7 9 10 11 12 14 15 16 17
4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 16 17 18
6 7 8 9 10 12 13 14 15 17 18 19 20
7 8 9 10 11 13 14 15 16 18 19 20 21
8 9 10 11 12 14 15 16 17 19 20 21 22
9 10 11 12 13 15 16 17 18 20 21 22 23
11 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25
12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 25 26
13 14 15 16 17 19 20 21 22 24 25 26 27
14 15 16 17 18 20 21 22 23 25 26 27 28

N 统计2
2 1
3 2
4 3
5 4
6 3
7 4
8 5
9 6
10 8
11 6
12 7
13 8
14 9
15 12
16 9
17 8
18 7
19 6
20 8
21 6
22 5
23 4
24 3
25 4
26 3
27 2
28 1
合计 144
排成二维矩阵，直接两个两个的加，然后在去统计，获得答案：12（此时N=15）.

白新岭 · 发表于 2024-1-17 20:02

现在N值还小，可以直接统计，列二维运算表，当N值较大时，显然这种方法不行。
那么，我们就需要拆分了，在x+y=N中，我们用mp+r的形式表示每一个未知数，则\((m_1p+r_1)+(m_2p+r_2)=(m_1p+m_2p)+(r_1+r_2)=(m_1+m_2)p+(r_1+r_2)=N\)，这里可以看出余数r构成一个变量，p（相当于周期t）构成一个变量，它们各自独立，互不影响，用周期得到某数有k1种方法，而余数r得到某数有k2种方法，它们是分步关系，非分类关系，所以，用乘法。这就是，矩阵拆分原理。
单位e 0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.8 1 1.2 1.4 1.6

真分数统计2
0.4 1
0.6 2
0.8 3
1 4
1.2 3
1.4 2
1.6 1
合计 16

T=3 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 3
2 2 3 4

周期统计2
0 1
1 2
2 3
3 2
4 1
合计 9

e/t 0 1 2 3 4
0.4 0.4 1.4 2.4 3.4 4.4
0.6 0.6 1.6 2.6 3.6 4.6
0.8 0.8 1.8 2.8 3.8 4.8
1 1 2 3 4 5
1.2 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2
1.4 1.4 2.4 3.4 4.4 5.4
1.6 1.6 2.6 3.6 4.6 5.6

统计2 1 2 3 2 1
1 1 2 3 2 1
2 2 4 6 4 2
3 3 6 9 6 3
4 4 8 12 8 4
3 3 6 9 6 3
2 2 4 6 4 2
1 1 2 3 2 1

实际合成统计2 还原
0.4 1 2
0.6 2 3
0.8 3 4
1 4 5
1.2 3 6
1.4 4 7
1.6 5 8
1.8 6 9
2 8 10
2.2 6 11
2.4 7 12
2.6 8 13
2.8 9 14
3 12 15
3.2 9 16
3.4 8 17
3.6 7 18
3.8 6 19
4 8 20
4.2 6 21
4.4 5 22
4.6 4 23
4.8 3 24
5 4 25
5.2 3 26
5.4 2 27
5.6 1 28
合计 144 N

直接运算后进行统计，与拆分成单位矩阵，与周期矩阵，在耦合所获得结果完全一致。

白新岭 · 发表于 2024-1-17 20:14

当然我们可以利用公式（求出公式后）直接计算N=100时，有多少组满足条件的解，但是，在出来前，还是用矩阵拆分法比较容易获得。
t=20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
12 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
13 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
15 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
17 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
18 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
19 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
后10列不再发了，缩小版面，有兴趣自己在Excel中验算
t=20 统计2
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19 20
20 19
21 18
22 17
23 16
24 15
25 14
26 13
27 12
28 11
29 10
30 9
31 8
32 7
33 6
34 5
35 4
36 3
37 2
38 1
合计 400

白新岭 · 发表于 2024-1-17 20:25

t/e 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
3 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6
4 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6
5 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6
6 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6
7 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6
8 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6
9 9.4 9.6 9.8 10 10.2 10.4 10.6
10 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.6
11 11.4 11.6 11.8 12 12.2 12.4 12.6
12 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4 13.6
13 13.4 13.6 13.8 14 14.2 14.4 14.6
14 14.4 14.6 14.8 15 15.2 15.4 15.6
15 15.4 15.6 15.8 16 16.2 16.4 16.6
16 16.4 16.6 16.8 17 17.2 17.4 17.6
17 17.4 17.6 17.8 18 18.2 18.4 18.6
18 18.4 18.6 18.8 19 19.2 19.4 19.6
19 19.4 19.6 19.8 20 20.2 20.4 20.6
20 20.4 20.6 20.8 21 21.2 21.4 21.6
21 21.4 21.6 21.8 22 22.2 22.4 22.6
22 22.4 22.6 22.8 23 23.2 23.4 23.6
23 23.4 23.6 23.8 24 24.2 24.4 24.6
24 24.4 24.6 24.8 25 25.2 25.4 25.6
25 25.4 25.6 25.8 26 26.2 26.4 26.6
26 26.4 26.6 26.8 27 27.2 27.4 27.6
27 27.4 27.6 27.8 28 28.2 28.4 28.6
28 28.4 28.6 28.8 29 29.2 29.4 29.6
29 29.4 29.6 29.8 30 30.2 30.4 30.6
30 30.4 30.6 30.8 31 31.2 31.4 31.6
31 31.4 31.6 31.8 32 32.2 32.4 32.6
32 32.4 32.6 32.8 33 33.2 33.4 33.6
33 33.4 33.6 33.8 34 34.2 34.4 34.6
34 34.4 34.6 34.8 35 35.2 35.4 35.6
35 35.4 35.6 35.8 36 36.2 36.4 36.6
36 36.4 36.6 36.8 37 37.2 37.4 37.6
37 37.4 37.6 37.8 38 38.2 38.4 38.6
38 38.4 38.6 38.8 39 39.2 39.4 39.6

统计2 1 2 3 4 3 2 1
1 1 2 3 4 3 2 1
2 2 4 6 8 6 4 2
3 3 6 9 12 9 6 3
4 4 8 12 16 12 8 4
5 5 10 15 20 15 10 5
6 6 12 18 24 18 12 6
7 7 14 21 28 21 14 7
8 8 16 24 32 24 16 8
9 9 18 27 36 27 18 9
10 10 20 30 40 30 20 10
11 11 22 33 44 33 22 11
12 12 24 36 48 36 24 12
13 13 26 39 52 39 26 13
14 14 28 42 56 42 28 14
15 15 30 45 60 45 30 15
16 16 32 48 64 48 32 16
17 17 34 51 68 51 34 17
18 18 36 54 72 54 36 18
19 19 38 57 76 57 38 19
20 20 40 60 80 60 40 20
19 19 38 57 76 57 38 19
18 18 36 54 72 54 36 18
17 17 34 51 68 51 34 17
16 16 32 48 64 48 32 16
15 15 30 45 60 45 30 15
14 14 28 42 56 42 28 14
13 13 26 39 52 39 26 13
12 12 24 36 48 36 24 12
11 11 22 33 44 33 22 11
10 10 20 30 40 30 20 10
9 9 18 27 36 27 18 9
8 8 16 24 32 24 16 8
7 7 14 21 28 21 14 7
6 6 12 18 24 18 12 6
5 5 10 15 20 15 10 5
4 4 8 12 16 12 8 4
3 3 6 9 12 9 6 3
2 2 4 6 8 6 4 2
1 1 2 3 4 3 2 1

合成数统计2 还原
0.4 1 2
0.6 2 3
0.8 3 4
1 4 5
1.2 3 6
1.4 4 7
1.6 5 8
1.8 6 9
2 8 10
2.2 6 11
2.4 7 12
2.6 8 13
2.8 9 14
3 12 15
3.2 9 16
3.4 10 17
3.6 11 18
3.8 12 19
4 16 20
4.2 12 21
4.4 13 22
4.6 14 23
4.8 15 24
5 20 25
5.2 15 26
5.4 16 27
5.6 17 28
5.8 18 29
6 24 30
6.2 18 31
6.4 19 32
6.6 20 33
6.8 21 34
7 28 35
7.2 21 36
7.4 22 37
7.6 23 38
7.8 24 39
8 32 40
8.2 24 41
8.4 25 42
8.6 26 43
8.8 27 44
9 36 45
9.2 27 46
9.4 28 47
9.6 29 48
9.8 30 49
10 40 50
10.2 30 51
10.4 31 52
10.6 32 53
10.8 33 54
11 44 55
11.2 33 56
11.4 34 57
11.6 35 58
11.8 36 59
12 48 60
12.2 36 61
12.4 37 62
12.6 38 63
12.8 39 64
13 52 65
13.2 39 66
13.4 40 67
13.6 41 68
13.8 42 69
14 56 70
14.2 42 71
14.4 43 72
14.6 44 73
14.8 45 74
15 60 75
15.2 45 76
15.4 46 77
15.6 47 78
15.8 48 79
16 64 80
16.2 48 81
16.4 49 82
16.6 50 83
16.8 51 84
17 68 85
17.2 51 86
17.4 52 87
17.6 53 88
17.8 54 89
18 72 90
18.2 54 91
18.4 55 92
18.6 56 93
18.8 57 94
19 76 95
19.2 57 96
19.4 58 97
19.6 59 98
19.8 60 99
20 80 100
20.2 60 101
20.4 59 102
20.6 58 103
20.8 57 104
21 76 105
21.2 57 106
21.4 56 107
21.6 55 108
21.8 54 109
22 72 110
22.2 54 111
22.4 53 112
22.6 52 113
22.8 51 114
23 68 115
23.2 51 116
23.4 50 117
23.6 49 118
23.8 48 119
24 64 120
24.2 48 121
24.4 47 122
24.6 46 123
24.8 45 124
25 60 125
25.2 45 126
25.4 44 127
25.6 43 128
25.8 42 129
26 56 130
26.2 42 131
26.4 41 132
26.6 40 133
26.8 39 134
27 52 135
27.2 39 136
27.4 38 137
27.6 37 138
27.8 36 139
28 48 140
28.2 36 141
28.4 35 142
28.6 34 143
28.8 33 144
29 44 145
29.2 33 146
29.4 32 147
29.6 31 148
29.8 30 149
30 40 150
30.2 30 151
30.4 29 152
30.6 28 153
30.8 27 154
31 36 155
31.2 27 156
31.4 26 157
31.6 25 158
31.8 24 159
32 32 160
32.2 24 161
32.4 23 162
32.6 22 163
32.8 21 164
33 28 165
33.2 21 166
33.4 20 167
33.6 19 168
33.8 18 169
34 24 170
34.2 18 171
34.4 17 172
34.6 16 173
34.8 15 174
35 20 175
35.2 15 176
35.4 14 177
35.6 13 178
35.8 12 179
36 16 180
36.2 12 181
36.4 11 182
36.6 10 183
36.8 9 184
37 12 185
37.2 9 186
37.4 8 187
37.6 7 188
37.8 6 189
38 8 190
38.2 6 191
38.4 5 192
38.6 4 193
38.8 3 194
39 4 195
39.2 3 196
39.4 2 197
39.6 1 198
合计 6400 N
这是利用矩阵拆分法获得N=100时，有80组解。
如果不用这种方法，直接用80*80的二维表进行统计，势必比这有些难度，特别是范围及维度的增大时，更是困难重重。

白新岭 · 发表于 2024-1-17 20:29

同样的比这葫芦画瓢，升级到三维（三阶）时，你会发现这种方法超先进，大大的降低了运算量。

白新岭 · 发表于 2024-1-17 21:19

e^2/e 0.2 0.4 0.6 0.8
0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.8 1 1.2 1.4 1.6
1 1.2 1.4 1.6 1.8
1.2 1.4 1.6 1.8 2
1.4 1.6 1.8 2 2.2
1.6 1.8 2 2.2 2.4

统计2/1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1

e^3 统计3
0.2 0
0.4 0
0.6 1
0.8 3
1 6
1.2 10
1.4 12
1.6 12
1.8 10
2 6
2.2 3
2.4 1
合计 64
单位e^3

白新岭 · 发表于 2024-1-17 21:20

t=6 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 7
3 3 4 5 6 7 8
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9 10

周期统计2
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 5
7 4
8 3
9 2
10 1
合计 36

周期2/1 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 7
3 3 4 5 6 7 8
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9 10
6 6 7 8 9 10 11
7 7 8 9 10 11 12
8 8 9 10 11 12 13
9 9 10 11 12 13 14
10 10 11 12 13 14 15

统计2/1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6
5 5 5 5 5 5 5
4 4 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1

周期^3 统计3
0 1
1 3
2 6
3 10
4 15
5 21
6 25
7 27
8 27
9 25
10 21
11 15
12 10
13 6
14 3
15 1
合计 216
周期t=6，t^3

白新岭 · 发表于 2024-1-17 21:23

根据e^3及t^3合成结果进行耦合。
周期^3 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
0 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
1 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
2 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4
3 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4
4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4
5 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4
6 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4
7 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4
8 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 10.2 10.4
9 9.6 9.8 10 10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4
10 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.6 11.8 12 12.2 12.4
11 11.6 11.8 12 12.2 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4
12 12.6 12.8 13 13.2 13.4 13.6 13.8 14 14.2 14.4
13 13.6 13.8 14 14.2 14.4 14.6 14.8 15 15.2 15.4
14 14.6 14.8 15 15.2 15.4 15.6 15.8 16 16.2 16.4
15 15.6 15.8 16 16.2 16.4 16.6 16.8 17 17.2 17.4

统计3 1 3 6 10 12 12 10 6 3 1
1 1 3 6 10 12 12 10 6 3 1
3 3 9 18 30 36 36 30 18 9 3
6 6 18 36 60 72 72 60 36 18 6
10 10 30 60 100 120 120 100 60 30 10
15 15 45 90 150 180 180 150 90 45 15
21 21 63 126 210 252 252 210 126 63 21
25 25 75 150 250 300 300 250 150 75 25
27 27 81 162 270 324 324 270 162 81 27
27 27 81 162 270 324 324 270 162 81 27
25 25 75 150 250 300 300 250 150 75 25
21 21 63 126 210 252 252 210 126 63 21
15 15 45 90 150 180 180 150 90 45 15
10 10 30 60 100 120 120 100 60 30 10
6 6 18 36 60 72 72 60 36 18 6
3 3 9 18 30 36 36 30 18 9 3
1 1 3 6 10 12 12 10 6 3 1

白新岭 · 发表于 2024-1-17 21:24

统计3结果
合成统计3 还原
0.6 1 3
0.8 3 4
1 6 5
1.2 10 6
1.4 12 7
1.6 15 8
1.8 19 9
2 24 10
2.2 33 11
2.4 37 12
2.6 42 13
2.8 48 14
3 54 15
3.2 69 16
3.4 75 17
3.6 82 18
3.8 90 19
4 96 20
4.2 118 21
4.4 126 22
4.6 135 23
4.8 145 24
5 150 25
5.2 180 26
5.4 190 27
5.6 201 28
5.8 213 29
6 216 30
6.2 255 31
6.4 267 32
6.6 277 33
6.8 285 34
7 276 35
7.2 313 36
7.4 321 37
7.6 327 38
7.8 331 39
8 312 40
8.2 345 41
8.4 349 42
8.6 351 43
8.8 351 44
9 324 45
9.2 351 46
9.4 351 47
9.6 349 48
9.8 345 49
10 312 50
10.2 331 51
10.4 327 52
10.6 321 53
10.8 313 54
11 276 55
11.2 285 56
11.4 277 57
11.6 267 58
11.8 255 59
12 216 60
12.2 213 61
12.4 201 62
12.6 190 63
12.8 180 64
13 150 65
13.2 145 66
13.4 135 67
13.6 126 68
13.8 118 69
14 96 70
14.2 90 71
14.4 82 72
14.6 75 73
14.8 69 74
15 54 75
15.2 48 76
15.4 42 77
15.6 37 78
15.8 33 79
16 24 80
16.2 19 81
16.4 15 82
16.6 12 83
16.8 10 84
17 6 85
17.2 3 86
17.4 1 87
合计 13824 N
当N=18时，有82组解。线性不定方程x+y+z=18，x，y，z不是5的倍数，是正整数。

白新岭 · 发表于 2024-1-17 21:38

N x y z 模5 模5 模5
18 1 1 16 1 1 1
18 1 3 14 1 3 4
18 1 4 13 1 4 3
18 1 6 11 1 1 1
18 1 8 9 1 3 4
18 1 9 8 1 4 3
18 1 11 6 1 1 1
18 1 13 4 1 3 4
18 1 14 3 1 4 3
18 1 16 1 1 1 1
18 2 2 14 2 2 4
18 2 3 13 2 3 3
18 2 4 12 2 4 2
18 2 7 9 2 2 4
18 2 8 8 2 3 3
18 2 9 7 2 4 2
18 2 12 4 2 2 4
18 2 13 3 2 3 3
18 2 14 2 2 4 2
18 3 1 14 3 1 4
18 3 2 13 3 2 3
18 3 3 12 3 3 2
18 3 4 11 3 4 1
18 3 6 9 3 1 4
18 3 7 8 3 2 3
18 3 8 7 3 3 2
18 3 9 6 3 4 1
18 3 11 4 3 1 4
18 3 12 3 3 2 3
18 3 13 2 3 3 2
18 3 14 1 3 4 1
18 4 1 13 4 1 3
18 4 2 12 4 2 2
18 4 3 11 4 3 1
18 4 6 8 4 1 3
18 4 7 7 4 2 2
18 4 8 6 4 3 1
18 4 11 3 4 1 3
18 4 12 2 4 2 2
18 4 13 1 4 3 1
18 6 1 11 1 1 1
18 6 3 9 1 3 4
18 6 4 8 1 4 3
18 6 6 6 1 1 1
18 6 8 4 1 3 4
18 6 9 3 1 4 3
18 6 11 1 1 1 1
18 7 2 9 2 2 4
18 7 3 8 2 3 3
18 7 4 7 2 4 2
18 7 7 4 2 2 4
18 7 8 3 2 3 3
18 7 9 2 2 4 2
18 8 1 9 3 1 4
18 8 2 8 3 2 3
18 8 3 7 3 3 2
18 8 4 6 3 4 1
18 8 6 4 3 1 4
18 8 7 3 3 2 3
18 8 8 2 3 3 2
18 8 9 1 3 4 1
18 9 1 8 4 1 3
18 9 2 7 4 2 2
18 9 3 6 4 3 1
18 9 6 3 4 1 3
18 9 7 2 4 2 2
18 9 8 1 4 3 1
18 11 1 6 1 1 1
18 11 3 4 1 3 4
18 11 4 3 1 4 3
18 11 6 1 1 1 1
18 12 2 4 2 2 4
18 12 3 3 2 3 3
18 12 4 2 2 4 2
18 13 1 4 3 1 4
18 13 2 3 3 2 3
18 13 3 2 3 3 2
18 13 4 1 3 4 1
18 14 1 3 4 1 3
18 14 2 2 4 2 2
18 14 3 1 4 3 1
18 16 1 1 1 1 1
这是82组解，不加限制条件有136组解。

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