解不定方程x^a+y^b=z^c

朱明君

一，\(设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n为正整数，\)
       \(则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}\)
二，\(设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n{,}为正整数，\)
       \(若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}\)
三，\(设\ x^n+y^{n+1}=z^n,其中\ x{,}y{,}z{,}n{,}K为正整数，\)
       \(且2^n-1=x=y{,}\ \ 2\left( 2^n-1\right)=z{,}\)
       \(则\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n\)
       \(则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n\)
       \(若n=ab，\)
        \(则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^b\right)^a+\left( 2^{ab\ }-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^b\right)^a\)
          \(则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^a\right)^b+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^a\right)^b\)
          \(则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^b\right)^a+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^a\right)^b\)
          \(则\left( \left( 2^{ab\ \ }-1\right)^a\right)^b+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^b\right)^a\)
四，\(设n为正整数，\)
       \(则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times2^n\right)^{n+1}\)
       \(若n+2=ab{,}\ \ n+1=cd{,}\)
       \(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d\)
       \(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c\)
       \(则\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d\)
       \(则\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c\)
       \(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d\)
       \(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c\)
五，\(设x，n为正整数，\)
       \(则2^{xn}+2^{xn}=2^{xn+1}\)
       \(则\left( 2^n\right)^x+\left( 2^n\right)^x=2^{nx+1}\)
       \(则\left( 2^x\right)^n+\left( 2^x\right)^n=2^{nx+1}\)
       \(则\left( 2^n\right)^x+\left( 2^x\right)^n=2^{nx+1}\)
      
              
(第1题)
\(解方程x^{202401}+y^3=z^{202403}\)
\(原方程，1^a+2^3=3^2{,}\ \ 其中a为大于等于1的正整数，\)
\(若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}\)
\(设a=202401，\ 代入公式得\)
\(\left( 1\times3^1\right)^{202401}+\left( 2\times3^{67467}\right)^3=3^{202403}\)

(第2题)
\(解方程x^3+y^4=z^5\)
\(原方程，2^3+1^b+=3^2{,}\ 其中b为大于等于1的正整数,\)
\(则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}\)
\(设b=4,   \ n=4， \ 代入公式得\)
\(\left( 2\times3^{16}\right)^3+\left( 1\times3^{12}\right)^4=\left( 3^{10}\right)^5\)

(第3题)
\(解方程x^n+y^{n+1}=z^n{,}\ \ 其中x,y,z,n为正整数，\)
\(且2^n-1=x=y{,}\ \ 2\left( 2^n-1\right)=z{,}\)
\(一，则\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n\)
\(二，则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n\)
\(设n=4{,}\ 代入公式一得\)
           \(\left( 2^4-1\right)^4=\left( 2^4-1\right)^5=\left( 2\left( 2^4-1\right)\right)^4\)
\(设n=3{,}\ \ K=4{,}\ \ 代入公式二得\)
          \(\left( \left( 2^3-1\right)\times4^4\right)^3+\left( \left( 2^3-1\right)\times4^3\right)^4=\left( 2\left( 2^3-1\right)\times4^4\right)^3\)

(第3题)
\(x^8+y^{15}=z^{17}，\)
\(解:原方程是2^3+1^4=3^2，\)
\(则\left( 2\times3^{480}\right)^8+\left( 1\times3^{256}\right)^{15}=\left( 3^{226}\right)^{17}\)

(第4题)
\(x^8+y^{17}=z^{15}\)
解:原方程是\(2^2+2^2=2^3{,}\)
\(则\left( 2\times2^{204}\right)^8+\left( 2\times2^{96}\right)^{17}=\left( 2^{109}\right)^{15}\)

(第5题)
\(x^6+y^8=z^{14}\)
\(解：原方程是2^3+1^4=3^2，\)
\(则\left( 2\times3^{16}\right)^6+\left( 1\times3^{12}\right)^8=\left( 3^7\right)^{14}\)

(第6题)
\(x^9+y^{16}=z^{25}\)
\(解：原方程是2^4+2^4=2^5，\)
\(则\left( 2\times2^{80}\right)^9+\left( 2\times2^{45}\right)^{16}=\left( 2^{29}\right)^{25}\)

(第7题)
\(x^2+y^2=z^5\)
\(解：原方程是5^2+12^2=13^2\)   
\(则\left( 5\times13^4\right)^2+\left( 12\times13^4\right)^2=\left( 13^2\right)^5\)

(第8题)
\(a^2+b^2+c^2=d^3\)
\(解:原方程是3^2+3^2+3^2=3^3\)
\(则\left( 3\times3^{12}\right)^2+\left( 3\times3^{12}\right)^2+\left( 3\times3^{12}\right)^2=\left( 3^9\right)^3\)


(第9题)
\(x^5+y^2=z^2\)
\(解：原方程是3^1-1^1=2^1\)
\(则\left( 3^3\right)^5+\left( 1\times3^7\right)^2=\left( 2\times3^7\right)^2\)

朱明君

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lusishun

题：求x^100+y^100+z^100+D^101=g^100
的一组正整数解

朱明君

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lusishun

在（3）中，您还没有明白，在细细思考，为什么要“且”，且的得来，是关键。要把这点思考清楚，

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-18 15:45
题：求x^100+y^100+z^100+D^101=g^100
的一组正整数解

这题你做不出来，就是因为，您没有从根本上理解明白

lusishun

朱先生试试：
直接写出：
A^20240119+B^20240119+c^20240119+d^20240119+e^20240120=f^20240119
的一组正整数解。

朱明君

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