解不定方程x^a+y^b=z^c

朱明君

(第1题)
\(设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n为正整数，\)
\(则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}\)

(第2题)
\(设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n{,}为正整数，\)
\(若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}\)

(第3题)
\(设\ x^n+y^{n+1}=z^n,其中\ x{,}y{,}z{,}n{,}K为正整数，\)
\(且2^n-1=x=y{,}\ \ 2\left( 2^n-1\right)=z{,}\)
\(则\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n\)
\(则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n\)
\(若n=ab，\)
\(则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^b\right)^a+\left( 2^{ab\ }-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^b\right)^a,\)
\(则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^a\right)^b+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^a\right)^b\)
\(则\left( \left( 2^{ab}-1\right)^b\right)^a+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^a\right)^b\)
\(则\left( \left( 2^{ab\ \ }-1\right)^a\right)^b+\left( 2^{ab}-1\right)^{ab+1}=\left( \left( 2\times\left( 2^{ab}-1\right)\right)^b\right)^a
\)

(第4题)
\(设n为正整数，\)
\(则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times2^n\right)^{n+1}\)
\(若n+2=ab{,}\ \ n+1=cd{,}\)
\(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d\)
\(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c\)
\(则\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d\)
\(则\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c\)
\(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^c\right)^d\)
\(则\left( \left( 2^n\right)^a\right)^b+\left( \left( 2^n\right)^b\right)^a=\left( \left( 2\times2^n\right)^d\right)^c\)

(第5题)
\(设x，n为正整数，\)
\(则2^{xn}+2^{xn}=2^{xn+1}\)
\(则\left( 2^n\right)^x+\left( 2^n\right)^x=2^{nx+1}\)
\(则\left( 2^x\right)^n+\left( 2^x\right)^n=2^{nx+1}\)
\(则\left( 2^n\right)^x+\left( 2^x\right)^n=2^{nx+1}\)
\(若mn=a，\)
\(则x^a+y^a=z^{a+1}\)

(第6题)
\(设m，n为奇数，\)
\(则\left( 2^m\right)^n+\left( 2^m\right)^n=\left( 2^{\left( mn+1\right)\div2}\right)^2\)
\(则\left( 2^m\right)^n+\left( 2^n\right)^m=\left( 2^{\left( mn+1\right)\div2}\right)^2\)
\(若mn=a，\)
\(则x^a+y^a=\left( z^{\left( a+1\right)\div2}\right)^2\)

(第7题)
\(设a，b，c，d，n都是奇数，\)其中
\(\left( abcd\cdots n\right)\div a=A，\)
\(\left( abcd\cdots n\right)\div b=B，\)
\(\left( abcd\cdots n\right)\div c=C，\)
\(\left( abcd\cdots n\right)\div n=N，\)
\(且方程左边项数等于x\)
\(则\left( x^A\right)^a+\left( x^B\right)^b+\cdots+\left( x^N\right)^n=\left( x^{\left( \left( ab\cdots n\right)+1\right)\div2}\right)^2\)

(第8题)
\(设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}{,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
\(x=2{,}代入公式得，2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
\(x=3{,}代入公式得，3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
\(x=4{,}代入公式得，4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
\(\cdots\cdots。\)

(第9题)
\(设n为任意奇数，\)
\(则2^n+2^n=\left\{ 2^{\left( n+1\right)\div2}\right\}^{^2}{,}\)
  \(2^1十2^1=2^2，\)
  \(2^3十2^3=4^2，\)
  \(2^5十2^5=8^2，\)
  \(2^7十2^7=16^2，\)
  \(......。\)

lusishun

X^3+y^5+z^7+k^11=m^2

lusishun

x=4^385,
Y=4^231,
z=4^165,
K=4^105,
m=4^578.

Treenewbee

lusishun 发表于 2024-1-24 00:12
x=4^385,
Y=4^231,
z=4^165,

太大了。

\[1^3+2^5+2^7+2^{11}=47^2\]

Treenewbee

lusishun 发表于 2024-1-24 00:12
x=4^385,
Y=4^231,
z=4^165,

太大了。
\[1^3 + 1^5 + 1^7 + 1^{11}=2^2\]

\[1^3+2^5+2^7+2^{11}=47^2\]

\[2^3 + 2^5 + 2^7 + 1^{11}=13^2\]

\[13^3 + 3^5 + 1^7 + 2^{11}=67^2\]

Treenewbee

lusishun 发表于 2024-1-23 06:53
X^3+y^5+z^7+k^11=m^2

部分解：
13        3        1        2        67
22        1        3        2        122
6        4        2        1        37
2        12        4        1        515
27        2        4        1        190
29        11        1        2        433
28        15        2        1        884
16        5        3        1        97
26        6        1        3        450
26        12        1        3        666
10        4        6        1        531
11        8        5        1        335
15        6        8        1        1452
18        23        22        1        50008
12        24        14        2        10648
4        7        12        5        9202
16        24        8        4        3776
10        4        11        9        177202
11        13        12        4        6356
16        25        6        7        44580

lusishun

Treenewbee 发表于 2024-1-24 14:42
部分解：
13        3        1        2        67
22        1        3        2        122

答案，寻找得来的过程？是不是，利用计算程序寻找。

朱明君

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朱明君

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