从直线 L1 上三点 P,Q,R 向直线 L2 作垂线，垂足为 D,E.F，什么情况下有 PD∥QE∥RF？

wintex

請問數學



線段a//b//c

//:平行

luyuanhong

题 从直线 L1 上三点 P,Q,R 向直线 L2 作垂线，垂足为 D,E,F，什么情况下有 PD∥QE∥RF ？

解  我们知道，在空间中，如果两条直线互相平行，那么这两条直线必定在同一平面上。

    所以，当 PD∥QE 时，PD 与 QE 这两条线必定在同一个平面上，设这个平面为 Π 。

    因为 PD 与 QE 都在平面 Π 上，所以 P,Q,D,E 这四点也都在平面 Π 上。

    因为直线 L1 通过 P,Q 两点，P,Q 两点在平面 Π 上，所以直线 L1 必定也在平面 Π 上。

    因为直线 L2 通过 E,D 两点，E,D 两点在平面 Π 上，所以直线 L2 必定也在平面 Π 上。

    由此可见，L1,L2 这两条直线必定在同一平面上，不可能是异面直线（台湾称为歪斜直线）。

    上面只考虑了 PD∥QE ，对于 QE∥RF ，显然同样也可以推断出 L1,L2 必定在同一平面上。

    反过来说，如果 L1,L2 这两条直线在同一平面上，则从 L1 上各点向 L2 作垂线，这些在同一

平面上、与同一直线垂直的垂线，显然必定互相平行。

    总之，要有 PD∥QE∥RF ，充分必要条件是 L1,L2 这两条直线必须共面，在同一个平面上。

    如果 L1,L2 异面（歪斜），不在同一平面上，则不可能有 PD∥QE∥RF 。

wintex

luyuanhong 发表于 2024-1-30 18:52
题  从直线 L1 上三点 P,Q,R 向直线 L2 作垂线，垂足为 D,E,F，什么情况下有 PD∥QE∥RF ？

解  我们知 ...

陸老師：
這兩個1,2都是歪斜線，我是想問線段長a,b,c在1中平行，在2中不平行

1中三個直角三角形斜邊不是都平行嗎，且線段長a//b//c


1的圖

wintex

wintex 发表于 2024-1-30 22:00
陸老師：
這兩個1,2都是歪斜線，我是想問線段長a,b,c在1中平行，在2中不平行

但2的圖確不是

luyuanhong

你怎么知道图 1 中三条线平行？从图上看看也知道这三条线并不平行。

wintex

luyuanhong 发表于 2024-1-30 23:23
你怎么知道图 1 中三条线平行？从图上看看也知道这三条线并不平行。

我以為1的圖因直角斜邊平行，所以投影平行，所以 c=a+b/2
那我可以請問，為何1的圖c=a+b/2 ？2的圖確不會

luyuanhong

图 1 中从 P,Q,R 出发向 L2 所作的三条垂线是不平行的。

但是把 L1 投影到 L2 所在的平面上，从投影出发再向 L2 所作的

三条垂线（长度为 a , (a+b)/2 , b 的三条线）是平行的。

这符合我在第 2 楼中所说的，只有当两条线在同一个平面上时，

从一条线上各点向另一条线所作的垂线，才可能互相平行。

图 2 中应该也是这样。

wintex

luyuanhong 发表于 2024-1-31 05:01
图 1 中从 P,Q,R 出发向 L2 所作的三条垂线是不平行的。

但是把 L1 投影到 L2 所在的平面上，从投影出发 ...

中从 D,E,F 出发向 L 所作的三条垂线是不平行的。

但是把 S 投影到 L 所在的平面上，从投影出发再向 L 所作的

三条垂线 AG,BH,CI（长度为 a , (a+b)/2 , b 的三条线）是平行的。
但解不出h

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：





这题与上面第 8 楼的题是类似的，这题可以求出 d ，上面第 8 楼的题用类似的方法应该也可求出 h 。

wintex

luyuanhong 发表于 2024-1-31 17:57
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

解不出來