实数a, b, c 满足 (a+b+c)(1/(a+b-5c)+1/(b+c-5a)+1/(c+a-5b))=9/5， 求(a+b+c)(1/...

ywantonio

试了一些方法还是做不出来, 请帮忙, 谢谢!

波斯猫猫

实数a, b, c 满足 (a+b+c)(1/(a+b-5c)+1/(b+c-5a)+1/(c+a-5b))=9/5， 求(a+b+c)(1/a+1/b+1/c).

思路：令a+b+c=t，则 t(1/(t-6c)+1/(t-6a)+1/(t-6b))=9/5，

即5t[(t-6a)(t-6b)+(t-6b)(t-6c)+(t-6c)(t-6a)(t-6b)]=9(t-6a)(t-6b)(t-6c).

展开，整理得，t(ab+bc+ca)/(abc)=27/2，即(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=27/2.

波斯猫猫

左边的5t不要乘进去，运算中见a+b+c就用t代之。

ywantonio

波斯猫猫 发表于 2024-2-1 17:44
左边的5t不要乘进去，运算中见a+b+c就用t代之。

t^2项能够全部消去，化到简洁的式子，真的很感谢您!

cgl_74

1、此题少了一个条件，即a, b, c都需要不为0，才能求出目标值。举例：a = b =0, c为任意不为0的数，满足条件，但显然结论不成立。
2、此题可以有个朴素的方法，就是把条件项通分化简，得到21abc = 2ab*b+2a*ab+2ac*c+2a*ac+2b*bc +2bc*c；补充abc不为0的条件，两边分别除以2abc，即21/2 = b/a + a/b + b/c +c/b +a/c +c/a。代入目标式，=3+21/2=27/2

波斯猫猫

虽说(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)是要所求的对象，但1/a+1/b+1/c明显表达了abc≠0.

波斯猫猫

把条件项通分化简是必须的。用a+b+c=t代换后，运算更简捷。

cgl_74

波斯猫猫 发表于 2024-2-4 13:06
虽说(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)是要所求的对象，但1/a+1/b+1/c明显表达了abc≠0.

虽然abc不为0是个小细节，但从你的回答看，你没关注条件与结论的逻辑关系。也难怪你的一些解法有含混不清之处。要多谦虚学习！
结论暗含abc不为0，说明结论是错的，因为从条件根本推导不出来。

波斯猫猫

老师好，