同余理论在算法优化中的魅力

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(2^0+2^0+2^1=2^2\)，

得：\(2^{0+a}+2^{0+a}+2^{1+a}=2^{2+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131k ,  0+a=137k ,  1+a=139k ,  2+a=149k ,
0+a=131*137k ,               1+a=139k ,  2+a=149k ,

故，a=219994326 ,   

解：\((2^{1679346})^{131}+(2^{1605798})^{137}+(2^{1582693})^{139}=(2^{1476472})^{149}\)



求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，

设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

设 w ≡ r  ( mod  4t -1 ),

且 t1 ≡  t2 ≡  4t -1 -r  ( mod  4t -1 ).

则 x=2n+t,  y=(w+t1)/(4t -1),  z=(w+t2)/(4t -1) .

这是一个完全构造性、无例外、可程序化的新 t 法。


求 4/409=1/105+1/y+1/z 的新 t 法，

分解：(409*105)^2=409^2*3^2*5^2*7^2,

设 409 ≡ 2  (mod 11 ),

求 (2*3*5*7)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 10  (mod 11 ),

t5: 10 ≡ 10 = 2 × 5  (mod 11 )
t1: 10 ≡ 21 = 3 × 7  (mod 11 )
t7: 10 ≡ 98 = 2 × 7^2  (mod 11 )
t3: 10 ≡ 175 = 5^2 × 7  (mod 11 )
t4: 10 ≡ 252 = 2^2 × 3^2 × 7  (mod 11 )
t8: 10 ≡ 450 = 2 × 3^2 × 5^2  (mod 11 )
t2: 10 ≡ 2100 = 2^2 × 3 × 5^2 × 7  (mod 11 )
t6: 10 ≡ 4410 = 2 × 3^2 × 5 × 7^2  (mod 11 )

以上式子中，把因子 2 改为 409，

就是求得 (409*105)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 10  (mod 11 ).

设 t1< t2,  t1* t2= w^2= (409*105)^2,

则 x=102+3,  y=(w+t1)/(4*3 -1),  z=(w+t2)/(4*3 -1) .


求 4/409=1/104+1/y+1/z 的新 t 法，

分解：(409*104)^2=409^2*2^6*13^2,

设 409 ≡ 3  (mod 7 ),

求 (2*3*13)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ),

t3:   3 ≡ 3 =3  (mod 7 )
t7:   3 ≡ 24 =2^3*3  (mod 7 )
t1:   3 ≡ 52 =2^2*13  (mod 7 )
t9:   3 ≡ 192 =2^6*3  (mod 7 )
t6:   3 ≡ 416 =2^5*13  (mod 7 )
t5:   3 ≡ 234 =2*3^2*13  (mod 7 )
t10: 3 ≡ 507 =3*13^2  (mod 7 )
t2:   3 ≡ 1872 =2^4*3^2*13  (mod 7 )
t8:   3 ≡ 4056 =2^3*3*13^2  (mod 7 )
t4:   3 ≡ 32448 =2^6*3*13^2  (mod 7 )

以上式子中，把因子 3 改为 409，

就是求得 (409*104)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ).

设 t1< t2,  t1* t2= w^2= (409*104)^2,

则 x=102+2,  y=(w+t1)/(4*2 -1),  z=(w+t2)/(4*2 -1) .


设 120d+49 是质数，

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

蔡氏增乘法质数：120d+49=769,  1129,  1609, 2689,  3769,  4129,  4969,  7369,  7489,  8329,  8929,  9049,  ......


设 d=(30k+11)m+26k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+11,  t2= (30d+16)^2/(30k+11),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+11)*(30m+26),


设 d=(15k+13)m+11k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+26,  t2= (30d+16)^2/(30k+26),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+26)*(15m+11),

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(1^t+2^2+2^2=3^2\)，

得：\(2^a*3^b+2^{a+2}*3^b+2^{a+2}*3^b=2^a*3^{b+2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=131k ,                  b=131k ,   
a+2=137k ,              b=137k ,   
a+2=139k ,              b=139k ,   
a=149k ,                  b+2=149k ,     
a=131*149k ,           b=131*137*139k ,
a+2=137*139k ,      b+2=149k ,

故，a=248320718 ,  b=361721785 ,

解：\((2^{1895578}*3^{2761235})^{131}+(2^{1812560}*3^{2640305})^{137}+(2^{1786480}*3^{2602315})^{139}=(2^{1666582}*3^{2427663})^{149}\)


用：\(1^r+1^t+5^2=3^3\)，

得：\(3^a*5^b+3^a*5^b+3^a*5^{b+2}=3^{a+3}*5^b\) ,

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=131k ,                   b=131k ,   
a=137k ,                   b=137k ,     
a=139k ,                   b+2=139k ,  
a+3=149k ,               b=149k ,   
a=131*137*139k ,    b=131*137*149k ,
a+3=149k ,              b+2=139k ,   

故，a=356732519 ,  b=88245399 ,   

解：\((3^{2723149}*5^{673629})^{131}+(3^{2603887}*5^{644127})^{137}+(3^{2566421}*5^{634859})^{139}=(3^{2394178}*5^{592251})^{149}\)

蔡家雄

求 勾股方程 \((x^{15})^2+(y^{8})^2=(z^{17})^2\)

由 \((2^{0}*3^{1}*5^{0})^2+(2^{2}*3^{0}*5^{0})^2=(2^{0}*3^{0}*5^{1})^2\)

得 \((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=15k ,     1+b=15k ,     0+c=15k ,
2+a=8k ,       0+b=8k ,       0+c=8k ,
0+a=17k ,     0+b=17k ,     1+c=17k ,
0+a=255k ,   0+b=136k ,   0+c=120k ,
2+a=8k ,       1+b=15k ,     1+c=17k ,

故，a=510 ,   b=1904 ,       c=1920 ,

解：\((2^{510}*3^{1905}*5^{1920})^2+(2^{512}*3^{1904}*5^{1920})^2=(2^{510}*3^{1904}*5^{1921})^2\)

即：\(((2^{34}*3^{127}*5^{128})^{15})^2+((2^{64}*3^{238}*5^{240})^{8})^2=((2^{30}*3^{112}*5^{113})^{17})^2\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(3^0+3^0+3^0=3^1\)，

得：\(3^{0+a}+3^{0+a}+3^{0+a}=3^{1+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131*137*139*k ,    1+a=149*k ,   

故，a=366711051 ,

解：\((3^{2799321})^{131}+(3^{2676723})^{137}+(3^{2638209})^{139}=(3^{2461148})^{149}\)

蔡家雄

鲁氏求一解法，不是大衍求一术

恒等式：\(2^n+2^n=2^{n+1}\)

恒等式：\(2^n+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}\)

求：\(x^{n+1}+y^{n+1}=z^{n}\)

解：\((2^{n-1})^{n+1}+(2^{n-1})^{n+1}=(2^{n})^{n}\)

求：\(x^n+y^{n+1}=z^n\)

解：\((a^n-1)^n+(a^n-1)^{n+1}=(a*(a^n-1))^n\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\)

解：\((a^{n^2-1}-1)^{n+1}+(a^{n^2-1}-1)^n=(a*(a^{n^2-1}-1))^{n+1}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n}+y^{2n+1}=z^{2n+2}\)

解：\(((a^{2n+2}-1)^{2n+2})^{2n}+((a^{2n+2}-1)^{2n+1})^{2n+1}=(a*(a^{2n+2}-1)^{2n})^{2n+2}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

解：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

蔡家雄

最新发现，

若 2n+1,  u ,  w  两两互质，

则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。

蔡家雄

由：49，5，24 两两互质，

求：\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)

用：\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=49k ,        1+b=49k ,        0+c=49k ,
2+a=5k ,          0+b=5k ,          0+c=5k ,   
0+a=24k ,        0+b=24k ,        1+c=24k ,
0+a=1176k ,    0+b=120k ,      0+c=245k ,
2+a=5k ,          1+b=49k ,        1+c=24k ,

故，a=3528 ,    b=2400 ,          c=4655 ,

解：\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)

即：\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

设：2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除，

得：2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,

解：\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)

\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]

即：\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)

\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]

蔡家雄

求：\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解，可以三项的底数都是2，

但，\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解，不可能三项的底数都是2，

用：\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ，

用：\(15^2+20^2=5^4\) ，

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=7k ,         1+b=7k ,          1+c=7k ,  
2+a=23k ,       0+b=23k ,        1+c=23k ,  
0+a=26k ,       0+b=26k ,        4+c=26k ,  
0+a=182k ,     0+b=598k ,      1+c=161k ,  
2+a=23k ,       1+b=7k ,          4+c=26k ,  

故，a=182 ,     b=1196 ，       c=2414 ,  

解：\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)

即：\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)

lusishun

不是多解，而是无穷多组解。