数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 768|回复: 10

设 a,b,c 是三角形的边长。证明:a^2×b(a-b)+b^2×c(b-c)+c^2×a(c-a)≥0

[复制链接]
发表于 2024-2-23 12:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
设a,b,c是三角形的边长。证明a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0,并说明等号何时成立(美国)。

证(反证法):假设a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0不成立,则存在a,b,c,

使得a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)<0,且a^2.c(a-c)+c^2.b(c-b)+b^2.a(b-a)<0(根据对称性)。

故,a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)+a^2.c(a-c)+c^2.b(c-b)+b^2.a(b-a)<0,

即ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ca(c-a)^2<0。这与ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ca(c-a)^2≥0矛盾。

从而a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0。显然,当且仅当a=b=c时等号成立。

注:原题相关信息见本论坛数学期刊《一个 IMO 特别奖获得者的解法》
发表于 2024-2-23 13:23 | 显示全部楼层
个人认为证明存在逻辑漏洞,假设题目结论不成立时,其否命题应该是:存在a、b、c,使原式<0,
对于原式而言,是不能应用对称性规则的,f(a,b,c)不会等于f(a,c,b),所以后面的过程是不正确的。

点评

(a,b,c)≠f(a,c,b)是绝对正确的。  发表于 2024-2-23 14:18
f(a,b,c)≠f(a,c,b)是绝对的。  发表于 2024-2-23 14:13
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2024-2-23 14:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2024-2-23 17:12 编辑

命题1:三角形任意一边的立方与另一边的积之和减去任意两边的积的平方之和,差为非负。

命题2:设a,b,c是三角形的边长。证明a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0,
或a^2.c(a-c)+c^2.b(c-b)+b^2.a(b-a)≥0。

命题3:设a,b,c是三角形的边长。证明a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0。

命题1是用文字叙述的,命题2和命题3是用符号叙述的。三个命题是等价的。

点评

謝謝老師  发表于 2024-2-23 21:22
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2024-2-23 15:46 | 显示全部楼层
一个 IMO 特别奖获得者的解法

作者:不可靠的数学疯子 来源:套路化思考 2024-02-15 03:11 浙江


本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

謝謝老師  发表于 2024-2-23 21:22
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2024-2-25 14:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2024-2-25 18:10 编辑

设a,b,c是三角形的边长。证明a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0,并说明等号何时成立(美国)。

证(直接法):根据三角形两边的差小于第三边,可设a-b+r=c,b-c+e=a,c-a+t=b,

则a=(e+t)/2,b=(t+r)/2,c=(r+e)/2  (e,t,r∈N+)。

故a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a=[(e+t)^2(t+r)(e-r)+(t+r)^2(r+e)(t-e)+(r+e)^2(e+t)(r-t)]/16

=[et(t-r)^2+tr(r-e)^2+re(e-t)^2]/8≥0。

注:本证法直接且较为朴素,用到三角形两边的差小于第三边的性质,必将换元。繁在计算,巧在三
处的局部配方。可以看出,除上述几种方法外,再应用其它方法(如放缩法)恐怕难以奏效。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2024-2-25 20:07 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2024-2-26 13:33 | 显示全部楼层
0≤[et(t-r)^2+tr(r-e)^2+re(e-t)^2]

=(a+c-b)(a+b-c)(2a-2c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(2a-2b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(2c-2b)^2

=4[(a+c-b)(a+b-c)(a-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(a-b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(c-b)^2]

=8[a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)]

注:还原后的长相是(a+c-b)(a+b-c)(a-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(a-b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(c-b)^2。
这可能就是原题的设计背景,但计算仍十分繁杂,共涉及36项。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-5-26 16:11 , Processed in 0.141601 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表