用朴素的方法证明美国数学月刊的一道几何证明

luyuanhong

用朴素的方法证明美国数学月刊的一道几何证明

原创 math Y Math游 2024-01-19 14:28 上海

看到群内一老师分享的问题——

如图，在锐角 △ABC 中，点 D、E、F 分别是边 BC、CA、AB 上一点，且满足 FD⊥BC 、DE⊥CA 、EF⊥AB ，求证：

AF/AB+BD/BC+CE/CA=1 。



初识此题，便觉它的条件简洁、结论漂亮，是一道好题，而且总觉得在哪里见过类似的条件。这里简单谈谈自己的思考过程。

首先，简单导角就可发现 ∠A=∠DEF ，∠B=∠EFD ，∠C=∠EDF ，所以 △ABC∽△EFD ，它们的对应边成比例，也即

AB : BC : CA=EF : FD : DE  ① 。



接下来我便陷入困境之中，如何处理结论中的三个线段之比呢？从以往的经验出发，我想到线段之比的等量代换。于是考虑从 AF/AB 这个式子入手，过点 F 作 FM∥BC ，交 AC 于点 M ，利用“A”字型基本结构转化，得到 AF/AB=AM/AC 。于是要证明的结论便转化成

AM/AC+BD/BC+CE/CA=1  ② 。



等等，等式 ② 可以处理的！②① ，即证明 BD/BC=ME/CA ③ 。说明利用线段之比的转化这条路是可行的！既然如此，要不要考虑把 BD/BC 也转化到 AC 这条边上呢？于是我尝试过点 D 作 DN∥AB ，交 AC 于点 N ，同样利用“A”字型基本结构进行转化，得到 BD/BC=AN/AC 。现在，要证明 ③ 式，只需证明 AN/AC=ME/CA ，也即 AN=ME（AM=NE）。最终转化成证明两条线段相等的问题。



那么，如何证明两条线段相等呢？在这个背景之下，用全等三角形或四边形的有关知识进行证明似乎不是一条好走的路。我突然想到刚才的转化过程，利用比例式的等量代换，我偶然把要证明的式子转化成证明两条线段相等的问题。将刚才的思维逆转一下，能否通过比例式的等量代换，证明两条线段相等呢？于是我开始寻找与 AM、EN 有关的比例式，最终找到 △AEF∽△NDE ，于是 NE/AF=DE/EF 。而 DE/EF 早在 ① 式中已经出现，可以进一步等量代换：

NE/AF=DE/EF=AC/AB=AM/AF ，所以 AM=NE 。于是 ③ 式得到证明，此题得证。

把上述证明过程整理如下：

过点 F、D 作 FM∥BC ，DN∥AC ，分别交 AC、BC 于点 M、N 。

可证 △ABC∽△EFD ，∴ DE/EF=AC/AB=AM/AF 。

可证 △AEF∽△NDE ，∴ DE/EF=NE/AF 。

∴ NE/AF=AM/AF ，∴ NE=AM ，即 AM=ME 。

∴ AF/AB+BD/BC+CE/CA=AM/AC+AN/AC+CE/CA=AM/AC+ME/AC+CE/CA=1，即证。

通过对此题的分析，我再次注意到回归基本方法的重要性。在本题的思考过程中，我用到了两个在与相似三角形有关问题中的处理方法：① 利用比例转化线段之比，这在 23 题几何证明中是非常常见的手段；② 利用比例式证明线段相等，这是证明线段相等的一个冷门方法，但九年级练习册第 30 页第 11 题中也出现过相关问题，在一模二模之中偶尔也会出现，需要我们教师加以关注。



于我而言，此题的价值不仅在于它漂亮的结论，更在于它朴素却实用的方法。当然，本题也可以利用解三角形的手段，利用代数方法强行证明，此处便不再赘述了。

波斯猫猫

∴ NE/AF=AM/AF ，∴ NE=AM ，即 AM=ME 。
应为：∴ NE/AF=AM/AF ，∴ NE=AM ，即 AN=ME 。（打错了字母）

波斯猫猫

思路(三角法)：如图，显然 △ABC∽△EFD，看图说话，不用作辅助线，思维简单，从大图填“1”

(不失一般性)开始，按步骤序号依次填出相应线段的值，内圈用正弦定理，外圈用锐角三角函数

的定义，易得出相似比k满足(规律性强，只需算左边第一个简单的)，

sinBsinCcosA+(sinA)^2=sinCsinAcosB+(sinB)^2=sinAsinBcosC+(sinC)^2=ksinAsinBsinC.

把各线段的值代入计算并化简有(仅一处用到和角的正弦及诱导公式，规律性强，只需算左边第一个)，

AF/AB+BD/BC+CE/CA=(sinBsinCcosA+sinCsinAcosB+sinAsinBcosC)/[sinAsinBcosC+(sinC)^2]

=[(sinC)^2+sinAsinBcosC)]/[sinAsinBcosC+(sinC)^2]=1.