数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 379|回复: 0

这样的Banach空间是Hilbert空间吗?

[复制链接]
发表于 2024-2-26 11:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 anyon 于 2024-2-26 11:30 编辑

\(X\)是满足以下条件的实或复Banach空间:存在实或复序列\(\left\{a_k\right\}_{k=1}^{n},\left\{b_k\right\}_{k=1}^{n}\),使得\(\forall f \in X^*,\exists y_f \in X, \ \text{s.t.} \ \forall x\in X,f(x)=[x,y_f]\),其中\([x,y_f]=\sum_{k=1}^{n}a_k(\|x+b_ky_f\|^2-\|x\|^2-\|b_k y_f\|^2)\),且实或复序列\(\{a_k\}_{k=1}^{n},\{b_k\}_{k=1}^{n}\)满足条件\(\begin{cases}  a_k,b_k\in \mathbb{R}\ \forall k=1,\dots n,\ \sum_{k=1}^n a_k b_k =\frac{1}{2},& X\text{为实Banach空间}\\  a_k,b_k\in \mathbb{C}\ \forall k=1,\dots n,\ \sum_{k=1}^n a_k \overline{b_k} =1,\sum_{k=1}^n a_k b_k =0,& X\text{为复Banach空间}   \end{cases}\)

(这保证了: ① \(f(y_f)=\|y_f\|^2\) ,② 若\(X\)是内积空间\((X,\langle \cdot,\cdot \rangle)\),则\([\cdot,\cdot]\)等于内积\(\langle \cdot,\cdot \rangle\)),那么这样的Banach空间\(X\)是Hilbert空间吗?

若\([x,y_f]\)是极化恒等式则已有肯定的结论(此帖意在推广该结论):(给出Riesz表示定理之逆定理的尝试)zhuanlan.zhihu.com/p/676306696,其证明的基本思路是:

1.先证明 \(X\)的一个子集\(M:=\{y_f:\forall f \in X^*\}\)是子空间.
2.再证明 \(M\) 是内积空间且 \(M\) 与 \(X^*\) 等距同构,从而 \(X^*\) 是一个Hilbert空间.
3.故 \(X^{**}\) 也是Hilbert空间且 \(X^*\)自反,从而 \(X\) 自反,等距同构于Hilbert空间\(X^{**}\).


但对于本帖提出的问题,我甚至难以证明\(M\)是\(X\)的子空间。
在此求助万能的网友,望各位不吝赐教!
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-4-25 12:15 , Processed in 0.099609 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表