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数学家眼中的完美数字,一探完全数的迷人之处

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发表于 2024-2-26 12:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学家眼中的完美数字,一探完全数的迷人之处

原创 遇见数学 遇见数学 2024-02-23 20:04 河南

在古希腊,数学家对数字的象征意义和潜在属性有特别的兴趣,他们认为数字在表达宇宙秩序与和谐方面起着重要作用。

在这样的文化背景下,完全数(Perfect Numbers,或称完美数)被发现并且被赋予了特殊的意义。所谓的完全数,是指一个数恰好等于它所有真因子之和,这样的属性被看作是宇宙和谐与美妙秩序的体现。



例如,6 和 28 都是完全数,因为 6 的因子是 1、2、3 ,而 1+2+3=6 ;28 的因子是 1、2、4、7、14 ,而 1+2+4+7+14=28 ,还有其他的数字也满足这样的模式。

完全数的数学表达与规律

早期的数学家们往往会从各个角度不断地审视这些特殊的数,试图从中发现普遍的规律。希腊数学家欧几里得发现前4个完全数似乎都遵循着一个美丽的模式:

    6 = 1 + 2 + 3
   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064





几个世纪后,欧拉还进一步证明了所有偶完全数都具有 2^(p-1)(2^p-1) 的形式,其中 2^p-1 必须是素数。这样,欧拉不只是证实了欧几里得的结果,而且还提炼出了偶完全数的一般形式,这是数学史上的一个里程碑。至今,这一结果仍是我们理解偶完全数的基础。

这里,我们也考虑如何证明欧几里得的这个结论。为了证明 P 是一个完全数,需要计算 P 的所有真因子的和,并证明这个和确实等于  P 本身。





完全数研究的意义

完全数的研究与梅森素数紧密相关,随着计算能力的提升,人们发现了越来越多的梅森素数,从而也就确定了更多的完全数。

至今为止,数学家已经找到了 51 个梅森素数,因此也就知道了 51 个完全数。目前为止,所有已知的完全数都是偶数,这引起了数学家对奇完全数到底是否存在的疑问。



美国数学家卡尔·帕梅朗斯提出奇完全数存在的部分条件,以此说明奇完全数不太可能存在(截图自维基百科)

寻找奇完全数极具挑战,需要数学家在数学理论中找到新的突破。尽管找到的可能性很小,但这种探索本身就是对数学极限的一次挑战,追求自然界中隐藏规律和模式的渴望一直推动着人类不断前行。

参考资料: https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number

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发表于 2024-2-26 12:18 | 显示全部楼层
A000396                Perfect numbers k: k is equal to the sum of the proper divisors of k.


6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
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