一类分式在无穷区间上的反常积分

luyuanhong

一类分式在无穷区间上的反常积分

原创 sinarcsin 形貌 2024-02-16 00:01 四川

数学和物理上经常涉及到分式的定积分，这通常是比较麻烦的。但利用 Β（Beta）函数的定义及性质可以方便地简化或计算一些特殊分式的定积分，例如



事实上，上式积分号中的式子不一定是分式，因为只要 n＞1 上式就成立，而不要求 n 为整数。比上式更一般的结论是



式中 a＞0 ，b＞0 ，0＜(p+1)/q＜r 。

证明

令



则



因此



再令 a=b=r=1 ，q=n ，p=0 ，就可以得到



也就是



上式第二步的推导用到了余元公式（Γ 函数的前世今生；Β 函数）。另外，根据上式以及上面的推导可知，也可以用幂函数或 Β 函数来定义三角函数。

其实，Γ 函数是根据幂函数与指数函数乘积的反常积分定义出来的，而 Β 函数是根据三角函数乘积的反常积分或两个幂函数之商的反常积分定义的。在很多涉及到积分的数学或物理问题中，被积函数都可以化成 Γ 函数或 Β 函数中被积函数的形式。而这样的积分通常是难以精确求出的。为了简化问题，就可以专门定义出 Γ 函数与 Β 函数，然后再来研究这些函数的性质，适当地运用这些性质便可以更简便地解决问题。这样，Γ 函数与 Β 函数就可以看作与其他基本初等函数（基本初等函数并不基本）一样的基本函数。