求证：存在等边六边形ABCDEF，使得 △ABC，△CDE和△EFA的边长...

波斯猫猫

求证：存在三组对边分别平行的等边六边形ABCDEF，使得
△ABC，△CDE和△EFA的边长之和分别为234，242与250。

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已知ABCDEF为一个三组对边分别平行的等边六边形，且△ABC，△CDE和△EFA
的边长之和分别为234，242与250，求这个等边六边形的边长。
这个问题的关键在于其解是否唯一（1楼的等边六边形的边长为65），难度更大。

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如图，由条件易证得∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且∠B＋∠D＋∠F=360°。

把△ABC，△CDE和△EFA组成△ACE，则△ACE外接⊙O的半径r为等边六边形的边长。

由三角形的面积公式有S△ACE=abc/4r=√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]/4，

即(abc)^2=r^2(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)，

或[(234-2r)(242-2r)(250-2r)]^2=r^2(726-6r)(226-2r)(242-2r)(258-2r)，

或4(117-r)^2(125-r)^2=3r^2(113-r)(129-r)。

又r+r＞250-2r，且(234-2r)+(242-2r)＞250-2r，故62.5＜r＜113。

经检验，易知r=65是4(117-r)^2(125-r)^2=3r^2(113-r)(129-r)的一个解。

故，存在三组对边分别平行的边长为65的等边六边形ABCDEF，使得△ABC，△CDE和△EFA的

边长之和分别为234，242与250。