在 ΔABC 中，∠C=135°，BC=4 ，D 为 BC 中点，求 tan∠BAD 的最大值

wintex

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

王守恩

\(过D作AB垂线(垂足=F),DF=\frac{2x}{AB},BF=\frac{2(4+x)}{AB},AB=\sqrt{(4+x)^2+x^2}\)

\(\tan∠BAD的最大值=\frac{DF}{AB-BF}=\frac{2x}{(4+x)^2+x^2-2(4+x)}=\frac{x}{x^2+3x+4}=\frac{1}{7}\)

liangchuxu

在 ΔABC 中，∠C=135°，BC=4 ，D 为 BC 中点，求 tan∠BAD 的最大值

王守恩

谢谢陆老师！2楼的图。谢谢陆老师！

用三角函数解题=降维打击。万能公式:

\(1=\frac{\sin(∠DAB)*AB*CD}{\sin(∠DAC)*AC*BD}=\frac{\sin(∠DAB)*\sin(\pi/4)*2}
{\sin(∠DAC)*\sin(∠DBA)*2}\)

\(∠DAC=∠DBA时,\tan∠DAB取得最大值=\frac{1}{7}\)

更一般的,  ∠C=135° 可以改。

王守恩

\(发散思维。假如我们已经知道∠DAC=∠DBA时,\tan∠DAB取得最大值(这一课再来补)。\)

\(ABD面积=ACD面积=>\sqrt{x^2+x^2}*\sqrt{x^2+(2+x)^2}=2*\sqrt{x^2+(4+x)^2}=>x=2\)

波斯猫猫

王守恩

小结。2楼的图。谢谢陆老师！

\(一般的有:在 ΔABC 中,已知∠C=c,已知\frac{BD}{CD}=\frac{n}{m},求\tan∠BAD=\tan(a)的最大值。\)

\(由万能公式:1=\frac{\sin(a)*\sin(c)*m}{\sin(x)*\sin(x)*n}可得a,其中x=\frac{180-c-a}{2}。\)

\(联系本题:在 ΔABC 中,∠C=135°,BC=4,D为BC中点,求\tan∠BAD=\tan(a)的最大值。\)

\(由万能公式:1=\frac{\sin(a)*\sin(135)*2}{\sin(x)*\sin(x)*2}可得\tan(a)的最大值=\frac{1}{7},其中x=\frac{180-135-a}{2}。\)

\(把“求\tan∠BAD的最大值”改成“求\sin∠BAD的最大值”,方法不变。\)

\(“求\tan∠BAD的最大值”等同“求\cot∠BAD的最小值”。\)

\(......\)

tmduser

有一个简单的几何解法