求 y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16) 的最小值

波斯猫猫

liangchuxu

不太理解此题解法有何错误？

luyuanhong

楼上 liangchuxu 的解答已收藏。

波斯猫猫

y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)
  =(x^2+16/x^2+6x+24/x+12)／(x^2+16/x^2+6x+24/x+13)
  ≥(8+24+12)/(8+24+13)=44/45  (仅当x=2时等号成立)。
或y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)
     =(x^2+16/x^2+6x+24/x+12)／(x^2+16/x^2+6x+24/x+13)
     =[(x-4/x)^2+6(√x-2/√x)^2+44]/[(x-4/x)^2+6(√x-2/√x)^2+45]
     ≥44/45  (仅当x=2时等号成立)。

被这样整出来如何？

liangchuxu

回复前面的疑问。

波斯猫猫

均值定理说：当几个正数的和一定，其积有最大值；反之，当几个正数的积一定，其和有最小值。

波斯猫猫

(a-b)^2≥0，或a^2+b^2≥2ab只是一个绝对不等式，即恒成立的不等式。
而(a+b)/2≥√(ab)表示：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。用
于求最值，一定要有条件“和或积一定“。

波斯猫猫

均值定理说：当几个正数的和一定，其积有最大值；反之，当几个正数的积一定，其和有最小值。
并且还要满足等号成立的条件。

liangchuxu

波斯猫猫 发表于 2024-3-20 13:38
(a-b)^2≥0，或a^2+b^2≥2ab只是一个绝对不等式，即恒成立的不等式。
而(a+b)/2≥√(ab)表示：两个正数的 ...

绝对不等式：(a-b)^2\(\ge\)0，对a,b没有要求的。此题a=x+3，b=4/x+3。

波斯猫猫

y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)
  =(x^2+16/x^2+6x+24/x+12)／(x^2+16/x^2+6x+24/x+13)
  ≥(8+24+12)/(8+24+13)=44/45  (仅当x=2时等号成立)。
或y=(x^4+6x^3+12x^2+24x+16)／(x^4+6x^3+13x^2+24x+16)
     =(x^2+16/x^2+6x+24/x+12)／(x^2+16/x^2+6x+24/x+13)
     =[(x-4/x)^2+6(√x-2/√x)^2+44]/[(x-4/x)^2+6(√x-2/√x)^2+45]
     ≥44/45  (仅当x=2时等号成立)。

被这样整出来如何？两种解法都是错的！