求证：[tan(a)tan(π／3+a)]／[tan(3a)tan(π／6+a)]=1

王守恩

求证：\(\frac{\tan(a)*\tan(\pi/3+a)}{\tan(3a)*\tan(\pi/6+a)}=1\)  a=任意数。

Nicolas2050

直接三倍角公式秒杀，ta3a=tga*tg(a-pi/3)*tg(a＋pi/3);
原式＝【tga*tg(a＋pi/3)】／【tga*tg(a-pi/3)*tg(a＋pi/3)＊tg(a＋pi/６)】＝１／【tg(a－pi/3)＊tg(a＋pi/６）】＝１
a为任意实数。

王守恩

  谢谢 Nicolas2050！

\(\frac{\tan(a)\tan(\pi/3+a)}{\tan(3a)\tan(\pi/6+a)}=\frac{\tan(a)\tan(\pi/3+a)}{\tan(a)\tan(\pi/3-a)\tan(\pi/3+a)\tan(\pi/6+a)}=\frac{1}{\tan(\pi/3-a)\tan(\pi/6+a)}=\frac{\tan(\pi/6+a)}{\tan(\pi/6+a)}=1\)

波斯猫猫

(1)，求证三角恒等式：tan3αtan(α+π／6)=tanαtan(α+π／3) .
(2)，求证三角恒等式：tanαtan(α+π／3)/[tan3αtan(α+π／6)]=1 .
三角恒等式中除sinθ和cosθ外，tanθ和cotθ中的变量θ也是有取值范围的，
故三角恒等式并非一味的“恒等“，即并非可以θ∈R。(1)和(2)的α的取值
范围就不同，如(1)可以α=π，而(2)不可以α=π。

王守恩

  谢谢 Nicolas2050！ 谢谢波斯猫猫！谢谢陆老师！

主帖跟下面的题目有关系。

\(a,b,c,d=正整数,  a<b<c<d<90, a+d≠90。\)

\(满足\tan(a^\circ)*\tan(b^\circ)* \tan(c^\circ)*\tan(d^\circ)=1, 这样的数组有多少?\)

谢谢mathe！给出了38组解(计算结果好像还有)。

01: {1, 59, 61, 87}
02: {2, 58, 62, 84}
03: {3, 29, 31, 89}
04: {3, 39, 75, 81}
05: {3, 57, 63, 81}
06: {3, 63, 69, 75}
07: {4, 56, 64, 78}
08: {5, 55, 65, 75}
09: {6, 28, 32, 88}
10: {6, 42, 66, 78}
11: {6, 54, 66, 72}
12: {7, 53, 67, 69}
13: {8, 52, 66, 68}
14: {9, 15, 51, 87}
15: {9, 27, 33, 87}
16: {9, 33, 69, 75}
17: {9, 51, 63, 69}
18: {10, 50, 60, 70}
19: {11, 49, 57, 71}
20: {12, 24, 48, 84}
21: {12, 26, 34, 86}
22: {12, 48, 54, 72}
23: {13, 47, 51, 73}
24: {14, 46, 48, 74}
25: {15, 21, 27, 87}
26: {15, 21, 57, 81}
27: {15, 25, 35, 85}
28: {15, 51, 57, 63}
29: {16, 42, 44, 76}
30: {17, 39, 43, 77}
31: {18, 24, 36, 84}
32: {18, 36, 42, 78}
33: {19, 33, 41, 79}
34: {20, 30, 40, 80}
35: {21, 23, 37, 83}
36: {21, 27, 39, 81}
37: {22, 24, 38, 82}
38: {27, 33, 39, 75}

王守恩

\(在1-89这89个整数度数中选尽可能多的数(每个数最多选1次), 约定任意2个数的和≠90。\)

\(满足\tan(a_{1})*\tan(a_{2})*\tan(a_{3})*\tan(a_{4})*\cdots*\tan(a_{n})=1,  n 最大是多少?\)

王守恩

\(在1-89这89个整数度数中选尽可能多的数(每个数最多选1次), 约定任意2个数的和≠90。\)

\(满足\tan(a_{1})*\tan(a_{2})*\tan(a_{3})*\tan(a_{4})*\cdots*\tan(a_{n})=1,  n 最大是多少?\)

mathe给出了如下答案。  谢谢 mathe!

1, n最大=41。

2, 譬如：{2, 3, 12, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39,
40, 41, 42, 43, 44, 45, 54, 58, 62, 72, 76, 77, 79, 80, 82, 83, 85, 86, 89},  ......,  ......,  ......, ......

3，n=41共有8360个答案。

4，更多的答案。不允许互为余角，不允许45度角:

count[4]=38
count[6]=66
count[8]=730
count[10]=2200
count[12]=8962
count[14]=29388
count[16]=80554
count[18]=204580
count[20]=426774
count[22]=657044
count[24]=758292
count[26]=696840
count[28]=554264
count[30]=397156
count[32]=248996
count[34]=125440
count[36]=53628
count[38]=20352
count[40]=8360