数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 2113|回复: 0

平面几何神兽---卡诺的鸭(1)

[复制链接]
发表于 2024-3-28 20:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
平面几何神兽---卡诺的鸭(1)

原创 lch 茄总笑谈人生几何 2024-03-19 18:03 上海

物理学界有四大神兽,分别是:薛定谔的猫,麦克斯韦的妖,拉普拉斯兽,芝诺的龟。茄总认为,平面几何中也有神兽!!!

今天我们要开始介绍的就是卡诺的鸭!!!

要说这个,我们得从一个特殊的点:垂心说起!!!

在梅,塞定理客串的第一回,我们欣赏了如何证明垂心的存在!在我们提到内心和垂心互为连襟的时候,茄总隐藏了一个事实:垂心的这个性质,其实是垂心为数不多的被放生的经历!!!

事实上,垂心的命运就死死地和外心绑在了一起!!!

我们来看一下垂心的其他性质:



首先是互补,这个互补其实很显然。因为 A,E,H,F 共圆,在对顶角导一下就可以了!!!

那为什么它死死地和外心绑在了一起了呢?

因为这一组互补带来了连锁反应:

首先,互补意味着正弦值相等。那么通过正弦定理,能直接推出,ΔABC 和 ΔHBC 的外接圆半径相等。即两个外接圆互为等圆!!!



那么,BC 对应的两段弧就相等!也就意味着这两个圆关于 BC 对称!!!

所以接下来,我们延长 AH 交外接圆于 H’。这个时候,就是卡诺的鸭闪亮登场的时候了!

刚才的铺垫说明了:H 关于 BC 的对称点在 ΔABC 的外接圆上。

也就意味着:延长 AH ,与 ΔABC 外接圆的交点 H' 与 H 关于 BC 对称!!!



接下来就会上映一系列的对称,我们就要请卡诺的鸭来看客串了!!!



卡诺的鸭把爪子摁到了这个地方,著名的鸭爪定理就这样生成了!!!

这样就衍生出来了另一组结论:



H 关于 BC 中点 M 的对称点在外接圆上,而且是 A 的对径点 A' 。得到的四边形 BA'CH 为平行四边形。



同时,得到的四边形 BA'H'C为 等腰梯形。

这个结论的证明也很简单:首先 ∠AH'A' 为直角,所以 A'H'∥BC 。

这样能直接得出来等腰梯形。



而 A'B⊥AB ,所以 A'B∥AC ,同理 A'C∥AB ,两组对边平行得到了平行四边形,进而得到了对角线互相平分,得到中点和对称。

这个时候,卡诺也可以出场了!!!



中位线可以直接得出 AH=2OM ,这就是垂心中著名的卡诺定理!

再用梅涅劳斯定理,我们也可以马上证明欧拉线的存在:



今天我们认识了这样的一只神兽,之后我们会通过精彩的表演来欣赏这样一只可爱的神兽!!!

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-16 11:22 , Processed in 0.094231 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: