已知:整数\(a＞0\)，素数\(c＞0\)，\(p＞0\)，求证:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)

太阳

已知:整数\(a＞0\)，素数\(c＞0\)，\(p＞0\)，
求证1:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)
命题1是否正确吗？
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞p\)，素数\(c＞0\)，\(p＞0\)，
求证2:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)
加了条件\(c＞p\)，命题2必定是正确

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞p\)，素数\(c＞0\)，\(p＞0\)，
求证2:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)
加了条件\(c＞p\)
证明:\(c\)是素数，\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)，在\(c\)范围内最多2个整数解
假设\(p\)是合数，\(c\)是素数，\(c＞p\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)，在\(p\)范围内最少3个整数解
这两个方程互相矛盾，所以假设不成立
结论:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)

太阳

去掉\(c＞p\)这个条件，命题是否正确吗？

yangchuanju

a                a^2+3及分解式
16                259 = 7 · 37
20                403 = 13 · 31
26                679 = 7 · 97
32                1027 = 13 · 79
34                1159 = 19 · 61
40                1603 = 7 · 229
44                1939 = 7 · 277
56                3139 = 43 · 73
68                4627 = 7 · 661
80                6403 = 19 · 337
先生既然要探讨含2个不同素因子的a^2+3，管它2个素因子谁大谁小干什么？               
如果(a^2+3)/c=p交换一下就是(a^2+3)/p=c了，               
含2个不同素因子的a^2+3比比皆是！               

yangchuanju

(12^2+3)/7^2=2^2-1
(45^2+3)/13^2=2^2-1
(168^2+3)/97^2=2^2-1
(82^2+3)/31^2=2^3-1
(2206^2+3)/37^2=2^5-1
(293^2+3)/26^2=2^7-1

(a^2+3)/m^2=2^p-1的大有人在！

yangchuanju

a^2+3之中有2个、3个梅森素数因子的
a        7*31
51        2604 = 2^2 · 3 · 7 · 31
82        6727 = 7 · 31^2
135        18228 = 2^2 · 3 · 7^2 · 31
166        27559 = 7 · 31 · 127
a        31*127
166        27559 = 7 · 31 · 127  
547        299212 = 2^2 · 19 · 31 · 127
3390        11492103 = 3 · 7 · 31 · 127 · 139
3771        14220444 = 2^2 · 3 · 7 · 31 · 43 · 127
a        7*31*127
166        27559 = 7 · 31 · 127
3390        11492103 = 3 · 7 · 31 · 127 · 139
3771        14220444 = 2^2 · 3 · 7 · 31 · 43 · 127
7327        53684932 = 2^2 · 7 · 31 · 127 · 487
20232        409333827 = 3 · 7 · 31 · 127 · 4951
23788        565868947 = 7 · 31 · 127 · 20533
24169        584140564 = 2^2 · 7^2 · 31 · 127 · 757
27393        750376452 = 2^2 · 3 · 7 · 31 · 127 · 2269
a        7*7*31*127
24169        584140564 = 2^2 · 7^2 · 31 · 127 · 757
55284        3056320659<10> = 3 · 7^2 · 31 · 127 · 5281
75350        5677622503<10> = 7^2 · 19 · 31 · 127 · 1549
86448        7473256707<10> = 3 · 7^2 · 31 · 37 · 127 · 349
106465        11334796228<11> = 2^2 · 7^2 · 31 · 37 · 127 · 397
117563        13821058972<11> = 2^2 · 7^2 · 31 · 127 · 17911
137629        18941741644<11> = 2^2 · 7^2 · 31 · 127 · 24547
168744        28474537539<11> = 3 · 7^2 · 31 · 127 · 49201

太阳

已知:整数\(a＞0\)，素数\(c＞0\)，\(p＞0\)，
求证1:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)
此命题是错误，可以找到反例

yangchuanju

太阳 发表于 2024-4-19 10:21
已知:整数\(a＞0\)，素数\(c＞0\)，\(p＞0\)，
求证1:\(\frac{a^2+3}{c}＝p\)
此命题是错误，可以找到反 ...

a^2+3的分解式中素数、二合数、三合数……，各色各样的都有，如果先生想找几个二合数耍耍，未尝不可；
为何出题：求证：(a^2+3)/c=p，其中的a是正整数，c、p都是素数，
意思不外乎就是——让别人证明a^2+3必是二合数！
先生用意何在？谬论不要再漫天飘啦！

如果先生出题：
请寻找乘积等于c*p的代数式a^2+3的正整数a，其中一个素因子p是梅森素数，另一个素因子c是普通素数或梅森素数，相信有相当多的网友帮你寻找，
何必一而再、再而三地让别人求证——求证——求证——求证个没完没了！

你自己为什么不给出相关命题的证明？

yangchuanju

a                a^2+3及分解式
16                259 = 7 · 37
20                403 = 13 · 31
26                679 = 7 · 97
40                1603 = 7 · 229
44                1939 = 7 · 277
68                4627 = 7 · 661
82                6727 = 7 · 31^2
88                7747 = 61 · 127
104                10819 = 31 · 349
166                27559 = 7 · 31 · 127
206                42439=31*37^2
290                84103=31*2713
392                153667=31*4957
476                226579 = 31 · 7309
538                289447 = 31 · 9337
596                355219 = 127 · 2797
848                719107 = 31 · 23197
850                722503 = 127 · 5689
910                828103 = 31 · 26713
928                861187 = 127 · 6781
1012                1024147 = 31 · 33037
1096                1201219 = 31 · 38749
1282                1643527 = 31 · 53017
1322                1747687 = 31 · 56377
1694                2869639 = 31 · 92569
1756                3083539 = 31 · 99469
1778                3161287 = 31 · 101977

(508256^2+3)/8333037469=2^5-1
(73538^2+3)/660217=2^13-1
(349402^2+3)/931417＝2^17-1

yangchuanju

一次找出全部亿位梅森数和梅森素数
1亿位最小整数是10^999999999，1后面10^99999999个0；最大整数是10^100000000-1，10^99999999个9。
10的自然对数是2.30258509299405，常用对数是0.301029995663981；分别取倒数是0.434294481903252和3.32192809488736；
当k取332192809.4887时2^k-1是较小的1亿位数100……几，当k取3321928091.5654时2^k-1是较大的1亿位数999……几（10亿位）；
小指数3.32亿内有17896981个素数，大指数33.2亿内有159166556个素数；在大小两个指数中间有141269575个素数，即共有141269575个亿位梅森数；
（30亿个整数中有1.4亿个素数）
1.4亿个亿位梅森数中可能有几个或一二十个梅森素数。

要一次找到这些梅森数中的梅森素数，用太阳的整数解法，可
（一）逐个计算出1.4亿个梅森数的整数值，不能近似或用指数式表达；
（二）取a等于10^(99999999/2)到10^99999999-10^(99999999/2)中的所有整数，分别计算出这些整数的平方再加3；并将这些平方数加3逐个分解到底；
（三）依次统计分解式中a不大于梅森数中的素因子是梅森数的个数；
（四）素因子个数只有2个的是梅森素数；没有等于梅森数的素因子或素因子个数多于2个的梅森数都不是素数。

这样多个亿位大素数不就找到了吗？