梅森素数公式:求证:\(2^k-1＝p\)，完美公式

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(a＝\frac{2^k}{2}\)，素数\(k＞3\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+c}{2}-2^k-1＝0\)，求\(c\)值，\(c＝2\times\left( 2^k+1\right)-a^2\)
方程\(\frac{b^2+c}{y}-2^k-1＝0\)，有负整数解，负根存在，\(a\)取其中一个值
\(a_1＝-\left( \frac{2^k+1}{6}-0.5\right)\)，或\(a_2＝-\left( \frac{2^k+1}{6}+0.5\right)\)
求证:\(2^k-1＝p\)

太阳

例1:\(k＝17\)，求\(c\)值，\(c＝-4294705150\)，代入方程\(\frac{b^2-4294705150}{y}-2^{17}-1＝0\)
有负整数解，负根存在，\(a\)取一个值，\(a_1＝-\left( \frac{2^{17}-1}{6}-0.5\right)\)，\(a_1＝-21845\)
判断\(2^{17}-1\)是素数

太阳

根据素数公式:验证\(2^{37}-1\)是合数

太阳

例1:\(k＝37\)，求\(c\)值，\(c＝-4722366482594767306750\)
代入方程\(\frac{b^2-4722366482594767306750}{y}-2^{37}-1＝0\)，有负整数解，负根存在
\(a\)取一个值，\(a_1＝-\left( \frac{2^{37}-1}{6}-0.5\right)\)，\(a_1＝-22906492246\)
\(a_2＝-\left( \frac{2^{37}-1}{6}+0.5\right)\)，\(a_2＝-22906492245\)
\(a＝-25278351881\)，\(a_1\ne a\ne a_2\)
判断\(2^{37}-1\)是合数

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(n＞1\)，\(t＞0\)，\(a＝\frac{m-1}{2}\)，\(\sqrt[n]{m}\ne t\)
奇数\(m＞9\)，素数\(p＞0\)，方程\(\frac{a^2+c}{2}-m＝0\)，求\(c\)值，\(c＝2m-a^2\)
方程\(\frac{b^2+c}{y}-m＝0\)，没有负整数解
求证:\(m＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(n＞1\)，\(t＞0\)，\(a＝\frac{m-1}{2}\)，\(\sqrt[n]{m}\ne t\)
奇数\(m＞9\)，方程\(\frac{a^2+c}{2}-m＝0\)，求\(c\)值，\(c＝2m-a^2\)
方程\(\frac{b^2+c}{y}-m＝0\)，有负整数解，负根存在
求证:\(m\)是合数

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(2^k-1\)范围内最多2个整数解，\(2^k-1＞a\)
结论:\(2^k-1＝p\)
\(2^k-1\)范围内最多2个整数解，数学软件验证2个整数解，梅森素数
\(2^3-1\)，\(2^7-1\)，\(2^{13}-1\)，\(2^{17}-1\)，\(2^{19}-1\)，\(2^{31}-1\)，\(2^{61}-1\)，\(2^{89}-1\)
\(2^{107}-1\)，\(2^{127}-1\)，\(2^{521}-1\)，\(2^{607}-1\)，\(2^{1279}-1\)，\(2^{2203}-1\)，\(2^{2281}-1\)
\(2^k-1\)范围内最少3个整数解，数学软件验证4个整数解，合数
\(2^{37}-1\)，\(2^{67}-1\)，\(2^{101}-1\)，\(2^{103}-1\)，\(2^{269}-1\)，\(2^{271}-1\)
\(2^{373}-1\)，\(2^{379}-1\)，\(2^{457}-1\)，\(2^{881}-1\)，\(2^{1063}-1\)，\(2^{1637}-1\)

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(a＝\frac{2^k}{2}\)，素数\(k＞3\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+c}{2}-2^k-1＝0\)，求\(c\)值，\(c＝2\times\left( 2^k+1\right)-a^2\)
方程\(\frac{b^2+c}{y}-2^k-1＝0\)，有负整数解，负根存在，\(a\)取其中一个值
\(a_1＝0.5-\frac{2^k+1}{6}\)，或\(a_2＝-0.5-\frac{2^k+1}{6}\)，\(a＝a_1\)，或\(a＝a_2\)
求证:\(2^k-1＝p\)
k=23找到一个反例，可能只有这一个反例

太阳

梅森素数公式，发现一个反例，可能只有这一个反例

太阳

数学软件验证，梅森素数公式，2^k-1，k＝5，7，13，17，19，31，61，89，107，127，素数
找到一个反例k＝23，2^23-1是合数

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(a＝\frac{2^k}{2}\)，偶数\(t＝\frac{k-1}{2}\)，素数\(k＞3\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+c}{2}-2^k-1＝0\)，求\(c\)值，\(c＝2\times\left( 2^k+1\right)-a^2\)
方程\(\frac{b^2+c}{y}-2^k-1＝0\)，有负整数解，负根存在，\(a\)取其中一个值
\(a_1＝-\left( \frac{2^k+1}{6}-0.5\right)\)，或\(a_2＝-\left( \frac{2^k+1}{6}+0.5\right)\)
求证:\(2^k-1＝p\)