讨论如何快速统计到不定方程的解组数

白新岭 · 发表于 2024-5-18 16:05

讨论如何快速统计到不定方程的解组数，这个问题就像整数拆分那样，我们拿例子来说，要不不知道在探讨什么。
比如在\(X_1+X_2+X_3+......+X_{10}=N\)这个不定方程中，未知数不能取7的倍数，和除7余3的数，求N=60时，不定方程的正整数解组数，现在我们拆分10，10=((（1+1）^2)^2+1)^2,经过4次运算可得，解释，先求出\(X_1+X_2=N\)的结果，然后，用其结果再次套用，就获得4个变量的结果，在加一个变量就得到5个变量的结果，5个变量最为一个整体套用最初就是10个变量的运算结果了。这样说大家还是不明白，为了降低难度，我们规定不定方程的未知数不能取5的倍数，和不能取除5余3的正整数，仍就求N=20时，不定方程的正整数解组数。

白新岭 · 发表于 2024-5-18 16:25

m 1 2 4 6 7 9 11 12 14 16 17 19
1 2 3 5 7 8 10 12 13 15 17 18 20
2 3 4 6 8 9 11 13 14 16 18 19 21
4 5 6 8 10 11 13 15 16 18 20 21 23
6 7 8 10 12 13 15 17 18 20 22 23 25
7 8 9 11 13 14 16 18 19 21 23 24 26
9 10 11 13 15 16 18 20 21 23 25 26 28
11 12 13 15 17 18 20 22 23 25 27 28 30
12 13 14 16 18 19 21 23 24 26 28 29 31
14 15 16 18 20 21 23 25 26 28 30 31 33
16 17 18 20 22 23 25 27 28 30 32 33 35
17 18 19 21 23 24 26 28 29 31 33 34 36
19 20 21 23 25 26 28 30 31 33 35 36 38
这是\(X_1+X_2=N\)的分布，下边为统计结果：
N 统计2
1 0
2 1
3 2
4 1
5 2
6 2
7 2
8 5
9 2
10 4
11 4
12 3
13 8
14 3
15 6
16 6
17 4
18 11
19 4
20 8
21 8
22 3
23 10
24 3
25 6
26 6
27 2
28 7
29 2
30 4
31 4
32 1
33 4
34 1
35 2
36 2
37 0
38 1
39 0
40 0
合计 144
实际上我们仅用20以前的结果就行（而且大于20的统计结果不正确）

白新岭 · 发表于 2024-5-18 16:39

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

上面是前10列数据（首列为参与运算的，不在内），下边续上后七列数据（即运算结果）

12 13 14 15 16 17 18
14 15 16 17 18 19 20
15 16 17 18 19 20 21
16 17 18 19 20 21 22
17 18 19 20 21 22 23
18 19 20 21 22 23 24
19 20 21 22 23 24 25
20 21 22 23 24 25 26
21 22 23 24 25 26 27
22 23 24 25 26 27 28
23 24 25 26 27 28 29
24 25 26 27 28 29 30
25 26 27 28 29 30 31
26 27 28 29 30 31 32
27 28 29 30 31 32 33
28 29 30 31 32 33 34
29 30 31 32 33 34 35
30 31 32 33 34 35 36
首行是参与运算元素
tj2 1 2 1 2 2 2 5 2 4 4
1 1 2 1 2 2 2 5 2 4 4
2 2 4 2 4 4 4 10 4 8 8
1 1 2 1 2 2 2 5 2 4 4
2 2 4 2 4 4 4 10 4 8 8
2 2 4 2 4 4 4 10 4 8 8
2 2 4 2 4 4 4 10 4 8 8
5 5 10 5 10 10 10 25 10 20 20
2 2 4 2 4 4 4 10 4 8 8
4 4 8 4 8 8 8 20 8 16 16
4 4 8 4 8 8 8 20 8 16 16
3 3 6 3 6 6 6 15 6 12 12
8 8 16 8 16 16 16 40 16 32 32
3 3 6 3 6 6 6 15 6 12 12
6 6 12 6 12 12 12 30 12 24 24
6 6 12 6 12 12 12 30 12 24 24
4 4 8 4 8 8 8 20 8 16 16
11 11 22 11 22 22 22 55 22 44 44
这是前10列的统计（与开始的对称），下边为后7列统计数据
3 8 3 6 6 4 11
3 8 3 6 6 4 11
6 16 6 12 12 8 22
3 8 3 6 6 4 11
6 16 6 12 12 8 22
6 16 6 12 12 8 22
6 16 6 12 12 8 22
15 40 15 30 30 20 55
6 16 6 12 12 8 22
12 32 12 24 24 16 44
12 32 12 24 24 16 44
9 24 9 18 18 12 33
24 64 24 48 48 32 88
9 24 9 18 18 12 33
18 48 18 36 36 24 66
18 48 18 36 36 24 66
12 32 12 24 24 16 44
33 88 33 66 66 44 121
首行是参与运算元素
以下为统计结果：
N tj4
4 1
5 4
6 6
7 8
8 13
9 16
10 26
11 36
12 38
13 56
14 62
15 80
16 109
17 104
18 146
19 156
20 180

白新岭 · 发表于 2024-5-18 16:53

三楼是在二楼的基础上，计算出4个变量时，N对应的不定方程的正整数解组数
本楼计算“4+1”，即五个变量时，不定方程的正整数解组数，仍就在三楼的基础上，进行。
N 1 2 4 6 7 9 11 12 14 16 17 19
4 5 6 8 10 11 13 15 16 18 20 21 23
5 6 7 9 11 12 14 16 17 19 21 22 24
6 7 8 10 12 13 15 17 18 20 22 23 25
7 8 9 11 13 14 16 18 19 21 23 24 26
8 9 10 12 14 15 17 19 20 22 24 25 27
9 10 11 13 15 16 18 20 21 23 25 26 28
10 11 12 14 16 17 19 21 22 24 26 27 29
11 12 13 15 17 18 20 22 23 25 27 28 30
12 13 14 16 18 19 21 23 24 26 28 29 31
13 14 15 17 19 20 22 24 25 27 29 30 32
14 15 16 18 20 21 23 25 26 28 30 31 33
15 16 17 19 21 22 24 26 27 29 31 32 34
16 17 18 20 22 23 25 27 28 30 32 33 35
17 18 19 21 23 24 26 28 29 31 33 34 36
18 19 20 22 24 25 27 29 30 32 34 35 37
19 20 21 23 25 26 28 30 31 33 35 36 38
以上为运算结果分布（首行，首列，为参与运算的元素）
tj4/1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38
56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56
62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62
80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80
109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109
104 104 104 104 104 104 104 104 104 104 104 104 104
146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146
156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156
统计结果的分布（首行，首列，为参与运算的值），运算与统计对称
以下为最终tj5的结果：
N tj5
5 1
6 5
7 10
8 15
9 25
10 36
11 55
12 85
13 105
14 145
15 190
16 235
17 330
18 380
19 475
20 601
这个结果表明：\(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5=N\), N对应的值，即为线性不定方程的正整数解组数。

白新岭 · 发表于 2024-5-18 17:10

在4楼的基础上，我们最终得到10个变量时，不定方程的解组数
N 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
7 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
8 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
9 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
10 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
11 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
13 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
14 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
15 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
运算结果分布（首行，首列，为参与运算的元素）
下边是统计的分布（首行，首列，为参与运算的元素）
tj5 1 5 10 15 25 36 55 85 105 145 190
1 1 5 10 15 25 36 55 85 105 145 190
5 5 25 50 75 125 180 275 425 525 725 950
10 10 50 100 150 250 360 550 850 1050 1450 1900
15 15 75 150 225 375 540 825 1275 1575 2175 2850
25 25 125 250 375 625 900 1375 2125 2625 3625 4750
36 36 180 360 540 900 1296 1980 3060 3780 5220 6840
55 55 275 550 825 1375 1980 3025 4675 5775 7975 10450
85 85 425 850 1275 2125 3060 4675 7225 8925 12325 16150
105 105 525 1050 1575 2625 3780 5775 8925 11025 15225 19950
145 145 725 1450 2175 3625 5220 7975 12325 15225 21025 27550
190 190 950 1900 2850 4750 6840 10450 16150 19950 27550 36100

最终统计结果（即N对应的不定方程的正整数解组数，满足限制条件）
N tj10
10 1
11 10
12 45
13 130
14 300
15 622
16 1195
17 2190
18 3865
19 6490
20 10526
从这组数据可以看出，当N=20时，线性不定方程有满足条件的正整数解组数为：10526组（即10个变量时）

白新岭 · 发表于 2024-5-18 17:14

求幂快速算法
https://bbs.emath.ac.cn/thread-1042-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)
我是看到上述帖子，对以前解决问题的方法，进行对比，发的此贴，这是最优化的解决问题的方法，利用结果获得结果，走最快的道路。

白新岭 · 发表于 2024-5-19 17:16

在方程中相当于加填小括号，中括号，及大括号
例如:\(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6=N\\(X_1+X_2)+(X_3+X_4)+(X_5+X_6)=N\\((X_1+X_2)+(X_3+X_4))+(X_5+X_6)=N\)
这就是说先计算“1+1”，然后计算“2+2”，在计算“4+2”，这里“”的数字代表元素的个数，例如“2”这个数字表示两个元素相加形成的结果，用它继续和其他的进行加法合成，直到最终合为一个数（结果）。
总起来，是分了三步，完成整个运算的

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