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“妙解”三角小题:已知 cosα+2sinα=-√5 ,求 tanα

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发表于 2024-6-24 13:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是我前几天在网上看到的。发帖者自称这是“秒解,秒杀”,有一名高中生崇拜的不得了,遗憾为什么高考前没看到这个帖子。然后有好几个数学老师在下面骂说是误人子弟,是蠢蛋的妙解。
但答案恰是正确的。所以说这种解法绝对有其合理的地方,只是解答者笑而不言而已。那些在下面叫骂,转帖批判的人,怕才是真正的小丑。我将它贴在这里,网友们讨论一下如何正确的解答?

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发表于 2024-6-24 18:25 | 显示全部楼层
谢谢 ccmmjj !好题 !我来凑个热闹。

\(\sqrt{5}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{1+2^2}{\sqrt{1+2^2}}=>若\sin\theta+2\cos\theta=\sqrt{5},则:\tan\theta=\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{10}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\frac{1+3^2}{\sqrt{1+3^2}}=>若\sin\theta+3\cos\theta=\sqrt{10},则:\tan\theta=\frac{1}{3}\)

\(\sqrt{13}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\frac{2^2+3^2}{\sqrt{2^2+3^2}}=>若2\sin\theta+3\cos\theta=\sqrt{13},则:\tan\theta=\frac{2}{3}\)

\(\sqrt{25}=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{3^2+4^2}{\sqrt{3^2+4^2}}=>若3\sin\theta+4\cos\theta=\sqrt{25},则:\tan\theta=\frac{3}{4}\)

\(\sqrt{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=>若a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2},则:\tan\theta=\frac{a}{b}\)

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你这个想法非常正确,还可以挖一挖!  发表于 2024-6-25 12:53
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发表于 2024-6-25 00:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2024-6-25 00:34 编辑

哎。这老师当得。。。。。
这个解法明显是在瞎搞。答案对,不等于解法对。真正懂,才不会被人骗。
1、等式左边的负根号5,改成其它任何常数,按一楼解法都是一样的。
2、该方程的变量a,没有无限连续解或无解(我没去算具体答案),不满足连续函数求导条件。知道啥时候能求导吗?
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 楼主| 发表于 2024-6-25 13:05 | 显示全部楼层
这是我写的两个常规解法,仅供参考。

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謝謝老師  发表于 2024-7-4 14:19
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发表于 2024-6-25 14:43 | 显示全部楼层
一般方法 利用\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\ \) 带入求值  
个人认为 它那个方法猜测利用了 微分方程的特性 我也不懂 y'+ay=b??这样的一个微分方程的特例??
原表达式  \(A\sin\alpha+b\cos A=K\ \ \)
一般都有\(A^2+B^2\ =C^2\ \ \)
当然如果满足 \(A^2+B^2\ =C^2\ \ \)

而且两边直接求导 等号后面的 \(-\sqrt{5}\) 求导一定是0   那么 \(-\sqrt{5}\) 就没意义 我们猜测 如果写 -2 那结果应该不一样


当然 如果满足    \(A^2+B^2\ =C^2\ \ \) 明显 可以猜测\(\tan\alpha=\frac{B}{A}\)

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是这样的。  发表于 2024-6-26 09:16
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发表于 2024-6-25 14:48 | 显示全部楼层
当然 这直接让我想到了 求积分的万能换元公式

\(u=\tan\frac{x}{2}\ \sin x\ =\frac{2u}{1+u^2}\ \cos x\ =\frac{1-u^2}{1+u^2}\ \ \tan x=\frac{2u}{1-u^2}\)

换元求u  在求tanX
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发表于 2024-6-25 15:33 | 显示全部楼层
ccmmjj 发表于 2024-6-25 05:05
这是我写的两个常规解法,仅供参考。

两个解法都显功力
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 楼主| 发表于 2024-6-26 09:15 | 显示全部楼层
上个帖子说明这这道“秒杀”题解法的错误。然而为什么答案却是正确的?我来分析一下:
令 f(α)=cosα+2sinα,原解法其实就是令 f'(α)=0,而恰好这个函数在f(α)=-√5 时达到最小值,此时 f'(α)=0,
所以这种解法是能成立的。类似的,若是对 acosα+bsinα=±√(a^2+b^2) 的这类型求tanα的题目,这种解答都是合理的。
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发表于 2024-6-26 10:26 | 显示全部楼层
2#再挖一挖,   解法就复杂了。

\(若\ A*\sin\theta+B*\cos\theta=C,有2种可能:\)

\(\sin\theta=\frac{AC-B\sqrt{A^2+B^2-C^2}}{A^2+B^2}=\frac{AC+B\sqrt{A^2+B^2-C^2}}{A^2+B^2}\)

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结论是很对称的,解法有特殊的方法,也不复杂。  发表于 2024-6-26 13:46
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 楼主| 发表于 2024-6-27 20:32 | 显示全部楼层
对这个问题发一个总结性的帖子。
从前面的帖子来看,这位教辅老师的“秒杀”并不是毫无道理的。但是如果不讲原理,就是误人子弟。我秉承从高观点处理初数问题的思考,将教培老师的神秘面纱撕开,与网友共享这类题目的奇特解法。

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